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Theorem ispos 14409
Description: The predicate "is a poset." (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ispos.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ispos.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
ispos  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x,  .<_ , y, z
Allowed substitution hints:    K( x, y, z)

Proof of Theorem ispos
Dummy variables  p  b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
2 ispos.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
31, 2syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
43eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
b  =  ( Base `  p )  <->  b  =  B ) )
5 fveq2 5731 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
6 ispos.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
75, 6syl6eqr 2488 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
87eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  (
r  =  ( le
`  p )  <->  r  =  .<_  ) )
94, 83anbi12d 1256 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
( b  =  (
Base `  p )  /\  r  =  ( le `  p )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) )  <->  ( b  =  B  /\  r  = 
.<_  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) ) ) )
1092exbidv 1639 . . 3  |-  ( p  =  K  ->  ( E. b E. r ( b  =  ( Base `  p )  /\  r  =  ( le `  p )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) )  <->  E. b E. r
( b  =  B  /\  r  =  .<_  /\ 
A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) ) )
11 df-poset 14408 . . 3  |-  Poset  =  {
p  |  E. b E. r ( b  =  ( Base `  p
)  /\  r  =  ( le `  p )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) ) }
1210, 11elab4g 3088 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
E. b E. r
( b  =  B  /\  r  =  .<_  /\ 
A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) ) )
13 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
142, 13eqeltri 2508 . . . 4  |-  B  e. 
_V
15 fvex 5745 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
166, 15eqeltri 2508 . . . 4  |-  .<_  e.  _V
17 raleq 2906 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) )
1817raleqbi1dv 2914 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) )
1918raleqbi1dv 2914 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) )
20 breq 4217 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r x  <->  x  .<_  x ) )
21 breq 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
22 breq 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r x  <->  y  .<_  x ) )
2321, 22anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r x )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x ) ) )
2423imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
25 breq 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2621, 25anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
27 breq 4217 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
2826, 27imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r
z )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
2920, 24, 283anbi123d 1255 . . . . . 6  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <-> 
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3029ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
31302ralbidv 2749 . . . 4  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3214, 16, 19, 31ceqsex2v 2995 . . 3  |-  ( E. b E. r ( b  =  B  /\  r  =  .<_  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
3332anbi2i 677 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  E. b E. r ( b  =  B  /\  r  =  .<_  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) ) ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3412, 33bitri 242 1  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   Basecbs 13474   lecple 13541   Posetcpo 14402
This theorem is referenced by:  ispos2  14410  posi  14412  0pos  14416  isposd  14417  isposi  14418  pospropd  14566  resspos  24192  xrstos  24206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4341
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-iota 5421  df-fv 5465  df-poset 14408
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