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Theorem ispos2 14098
Description: A poset is an antisymmetric preset.

EDITORIAL: could become the definition of poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
ispos2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ispos2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
ispos2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y    x, B, y    x,  .<_ , y

Proof of Theorem ispos2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anan32 946 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
21ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
3 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
42, 3bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
542ralbii 2582 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
6 r19.26-2 2689 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
7 rr19.3v 2922 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
87ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
98anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
106, 9bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
115, 10bitri 240 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
1211anbi2i 675 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
13 ispos2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 ispos2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14ispos 14097 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1613, 14isprs 14080 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
18 anass 630 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
1917, 18bitri 240 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
2012, 15, 193bitr4i 268 1  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231    Preset cpreset 14076   Posetcpo 14090
This theorem is referenced by:  posprs  14099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-preset 14078  df-poset 14096
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