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Theorem ispos2 14397
Description: A poset is an antisymmetric preset.

EDITORIAL: could become the definition of poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
ispos2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ispos2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
ispos2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y    x, B, y    x,  .<_ , y

Proof of Theorem ispos2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3anan32 948 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
21ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
3 r19.26 2830 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  B  (
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
42, 3bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
542ralbii 2723 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
6 r19.26-2 2831 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
7 rr19.3v 3069 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
87ralbii 2721 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)
98anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
106, 9bitri 241 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. z  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
) )
115, 10bitri 241 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
1211anbi2i 676 . 2  |-  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
13 ispos2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
14 ispos2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
1513, 14ispos 14396 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1613, 14isprs 14379 . . . 4  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1716anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( ( K  e.  _V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
18 anass 631 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
1917, 18bitri 241 . 2  |-  ( ( K  e.  Preset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )
)  <->  ( K  e. 
_V  /\  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x  .<_  x  /\  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) ) )
2012, 15, 193bitr4i 269 1  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  Preset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528    Preset cpreset 14375   Posetcpo 14389
This theorem is referenced by:  posprs  14398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-preset 14377  df-poset 14395
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