MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isposix Unicode version

Theorem isposix 14107
Description: Properties that determine a poset (explicit structure version). Note that the numeric indices of the structure components are not mentioned explicitly in either the theorem or its proof. (Contributed by NM, 9-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
isposix.a  |-  B  e. 
_V
isposix.b  |-  .<_  e.  _V
isposix.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. }
isposix.1  |-  ( x  e.  B  ->  x  .<_  x )
isposix.2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
isposix.3  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
Assertion
Ref Expression
isposix  |-  K  e. 
Poset
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x,  .<_ , y, z
Allowed substitution hints:    K( x, y, z)

Proof of Theorem isposix
StepHypRef Expression
1 isposix.k . . 3  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  .<_  >. }
2 prex 4233 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( le `  ndx ) , 
.<_  >. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . 2  |-  K  e. 
_V
4 isposix.a . . 3  |-  B  e. 
_V
5 df-ple 13244 . . . 4  |-  le  = Slot  10
6 1lt10 9946 . . . 4  |-  1  <  10
7 10nn 9901 . . . 4  |-  10  e.  NN
81, 5, 6, 72strbas 13261 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  B  =  ( Base `  K
) )
94, 8ax-mp 8 . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
10 isposix.b . . 3  |-  .<_  e.  _V
111, 5, 6, 72strop 13262 . . 3  |-  (  .<_  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
1210, 11ax-mp 8 . 2  |-  .<_  =  ( le `  K )
13 isposix.1 . 2  |-  ( x  e.  B  ->  x  .<_  x )
14 isposix.2 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
15 isposix.3 . 2  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
163, 9, 12, 13, 14, 15isposi 14106 1  |-  K  e. 
Poset
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   10c10 9819   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-ple 13244  df-poset 14096
  Copyright terms: Public domain W3C validator