MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw Structured version   Unicode version

Theorem isppw 20889
Description: Two ways to say that  A is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem isppw
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }
21vmaval 20888 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  =  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 ) )
32neeq1d 2611 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
4 reuen1 7168 . . 3  |-  ( E! p  e.  Prime  p  ||  A  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
5 hash1 11665 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  1o )  =  1
65eqeq2i 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 )
7 prmdvdsfi 20882 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
8 1onn 6874 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
9 nnfi 7291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  Fin
11 hashen 11623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
127, 10, 11sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  (
# `  1o )  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o ) )
136, 12syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1  <->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
1413biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 )
15 iftrue 3737 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1  ->  if ( (
# `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) )
17 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o )
18 en1b 7167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o 
<->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  =  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } } )
20 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . 12  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  Prime
2119, 20syl6eqssr 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime )
22 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Fin  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  _V )
237, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  _V )
25 snssg 3924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  _V  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime 
<->  { U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A } }  C_  Prime ) )
2721, 26mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  Prime )
28 prmuz2 13089 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Prime  ->  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
30 eluzelre 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  RR )
3129, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A }  e.  RR )
32 eluz2b2 10540 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A }  e.  NN  /\  1  <  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } ) )
3332simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  1  <  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )
3429, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  1  <  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)
3531, 34rplogcld 20516 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  e.  RR+ )
3635rpne0d 10645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  ( log `  U. { p  e. 
Prime  |  p  ||  A } )  =/=  0
)
3716, 36eqnetrd 2616 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  ~~  1o )  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0 )
3837ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  ->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
39 iffalse 3738 . . . . . 6  |-  ( -.  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1  ->  if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =  0 )
4039necon1ai 2640 . . . . 5  |-  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 )
4140, 13syl5ib 211 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( if ( ( # `  {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. {
p  e.  Prime  |  p 
||  A } ) ,  0 )  =/=  0  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o ) )
4238, 41impbid 184 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  ~~  1o  <->  if ( ( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
)  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
434, 42syl5bb 249 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E! p  e.  Prime  p 
||  A  <->  if (
( # `  { p  e.  Prime  |  p  ||  A } )  =  1 ,  ( log `  U. { p  e.  Prime  |  p  ||  A }
) ,  0 )  =/=  0 ) )
443, 43bitr4d 248 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E! p  e.  Prime  p 
||  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E!wreu 2699   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   omcom 4837   ` cfv 5446   1oc1o 6709    ~~ cen 7098   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    < clt 9112   NNcn 9992   2c2 10041   ZZ>=cuz 10480   #chash 11610    || cdivides 12844   Primecprime 13071   logclog 20444  Λcvma 20866
This theorem is referenced by:  isppw2  20890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-prm 13072  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-vma 20872
  Copyright terms: Public domain W3C validator