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Theorem ispridl 26659
Description: The predicate "is a prime ideal". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pridlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
pridlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
pridlval.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, a, b    x, P, y, a, b
Allowed substitution hints:    G( x, y, a, b)    H( x, y, a, b)    X( x, y, a, b)

Proof of Theorem ispridl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pridlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 pridlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 pridlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3pridlval 26658 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( PrIdl `  R
)  =  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } )
54eleq2d 2350 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } ) )
6 neeq1 2454 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  (
i  =/=  X  <->  P  =/=  X ) )
7 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
( x H y )  e.  i  <->  ( x H y )  e.  P ) )
872ralbidv 2585 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  i  <->  A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
a  C_  i  <->  a  C_  P ) )
10 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
b  C_  i  <->  b  C_  P ) )
119, 10orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  (
( a  C_  i  \/  b  C_  i )  <-> 
( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
128, 11imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( i  =  P  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
13122ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  i  ->  (
a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
146, 13anbi12d 691 . . . 4  |-  ( i  =  P  ->  (
( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) )  <-> 
( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1514elrab 2923 . . 3  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  ( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
16 3anass 938 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( P  e.  ( Idl `  R )  /\  ( P  =/= 
X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1715, 16bitr4i 243 . 2  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
185, 17syl6bb 252 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   RingOpscrngo 21042   Idlcidl 26632   PrIdlcpridl 26633
This theorem is referenced by:  pridlidl  26660  pridlnr  26661  pridl  26662  ispridl2  26663  smprngopr  26677  ispridlc  26695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-pridl 26636
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