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Theorem ispridl 26646
Description: The predicate "is a prime ideal". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pridlval.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
pridlval.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
pridlval.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, R, y, a, b    x, P, y, a, b
Allowed substitution hints:    G( x, y, a, b)    H( x, y, a, b)    X( x, y, a, b)

Proof of Theorem ispridl
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pridlval.1 . . . 4  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 pridlval.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 pridlval.3 . . . 4  |-  X  =  ran  G
41, 2, 3pridlval 26645 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( PrIdl `  R
)  =  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } )
54eleq2d 2505 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) } ) )
6 neeq1 2611 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  (
i  =/=  X  <->  P  =/=  X ) )
7 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
( x H y )  e.  i  <->  ( x H y )  e.  P ) )
872ralbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  i  <->  A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq2 3372 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
a  C_  i  <->  a  C_  P ) )
10 sseq2 3372 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  P  ->  (
b  C_  i  <->  b  C_  P ) )
119, 10orbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( i  =  P  ->  (
( a  C_  i  \/  b  C_  i )  <-> 
( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
128, 11imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( i  =  P  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
13122ralbidv 2749 . . . . 5  |-  ( i  =  P  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  i  ->  (
a  C_  i  \/  b  C_  i ) )  <->  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
146, 13anbi12d 693 . . . 4  |-  ( i  =  P  ->  (
( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) )  <-> 
( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1514elrab 3094 . . 3  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  ( P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
16 3anass 941 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( P  e.  ( Idl `  R )  /\  ( P  =/= 
X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
1715, 16bitr4i 245 . 2  |-  ( P  e.  { i  e.  ( Idl `  R
)  |  ( i  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  i  ->  ( a  C_  i  \/  b  C_  i ) ) ) }  <->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
185, 17syl6bb 254 1  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   RingOpscrngo 21965   Idlcidl 26619   PrIdlcpridl 26620
This theorem is referenced by:  pridlidl  26647  pridlnr  26648  pridl  26649  ispridl2  26650  smprngopr  26664  ispridlc  26682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-pridl 26623
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