Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ispridl2 Unicode version

Theorem ispridl2 26663
Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 26695 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridl2.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridl2.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridl2.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem ispridl2
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ispridl2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 ispridl2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ran  G
31, 2idlss 26641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  r  C_  X )
4 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  X  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
65adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
71, 2idlss 26641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  s  C_  X )
8 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
98ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
107, 9syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
1110adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
126, 11syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
1312adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
14 r19.26-2 2676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  <->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
15 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1615ralimi 2618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1716ralimi 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
18 2ralor 2709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
1918biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
20 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  P  <->  A. a  e.  r  a  e.  P )
21 dfss3 3170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  P  <->  A. b  e.  s  b  e.  P )
2220, 21orbi12i 507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
2319, 22sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2417, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2514, 24sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  r 
A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2625expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
2713, 26syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2827ralrimdvva 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2928ex 423 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3029adantrd 454 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3130imdistand 673 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
32 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
33 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
3431, 32, 333imtr4g 261 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
35 ispridl2.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
361, 35, 2ispridl 26659 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3734, 36sylibrd 225 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
3837imp 418 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   RingOpscrngo 21042   Idlcidl 26632   PrIdlcpridl 26633
This theorem is referenced by:  ispridlc  26695
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-idl 26635  df-pridl 26636
  Copyright terms: Public domain W3C validator