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Theorem ispridl2 26766
Description: A condition that shows an ideal is prime. For commutative rings, this is often taken to be the definition. See ispridlc 26798 for the equivalence in the commutative case. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridl2.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridl2.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridl2.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridl2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)    H( a, b)

Proof of Theorem ispridl2
Dummy variables  r 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ispridl2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( 1st `  R
)
2 ispridl2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  ran  G
31, 2idlss 26744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  r  C_  X )
4 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r 
C_  X  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
53, 4syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
65adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
71, 2idlss 26744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  s  C_  X )
8 ssralv 3250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
98ralimdv 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s 
C_  X  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
107, 9syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  s  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
1110adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  r  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
126, 11syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  (
r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R
) ) )  -> 
( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
1312adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )
14 r19.26-2 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  <->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
15 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1615ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
1716ralimi 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  ->  A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )
18 2ralor 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
1918biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
20 dfss3 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r 
C_  P  <->  A. a  e.  r  a  e.  P )
21 dfss3 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  P  <->  A. b  e.  s  b  e.  P )
2220, 21orbi12i 507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( A. a  e.  r  a  e.  P  \/  A. b  e.  s  b  e.  P ) )
2319, 22sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2417, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  /\  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2514, 24sylbir 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. a  e.  r 
A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  /\  A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )
2625expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
2713, 26syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( r  e.  ( Idl `  R )  /\  s  e.  ( Idl `  R ) ) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  ( A. a  e.  r  A. b  e.  s 
( a H b )  e.  P  -> 
( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2827ralrimdvva 2651 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
2928ex 423 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3029adantrd 454 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) )  ->  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3130imdistand 673 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) )  -> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
32 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
33 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
3431, 32, 333imtr4g 261 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
35 ispridl2.2 . . . 4  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
361, 35, 2ispridl 26762 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. a  e.  r  A. b  e.  s  ( a H b )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
3734, 36sylibrd 225 . 2  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
3837imp 418 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   RingOpscrngo 21058   Idlcidl 26735   PrIdlcpridl 26736
This theorem is referenced by:  ispridlc  26798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-idl 26738  df-pridl 26739
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