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Theorem ispridlc 26695
Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridlc.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridlc.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridlc.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridlc  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b    H, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)

Proof of Theorem ispridlc
Dummy variables  x  y  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 26625 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 ispridlc.1 . . . . 5  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 ispridlc.2 . . . . 5  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 ispridlc.3 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
52, 3, 4ispridl 26659 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
61, 5syl 15 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
7 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  X  ->  { a }  C_  X )
82, 4igenidl 26688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
91, 7, 8syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R ) )
109adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
11 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
122, 4igenidl 26688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
131, 11, 12syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R ) )
1413adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
15 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R 
IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P ) )
16 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( r  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { a } )  C_  P )
)
1716orbi1d 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
1815, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  -> 
( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
19 raleq 2736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  ( R 
IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
2019ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
21 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( s  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P )
)
2221orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( ( R 
IdlGen  { a } ) 
C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) )
2320, 22imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <-> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2418, 23rspc2v 2890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R )  /\  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2510, 14, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2625adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
272, 3, 4prnc 26692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) } )
28 df-rab 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) }  =  { x  |  (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) }
2927, 28syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  |  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) } )
3029abeq2d 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  <-> 
( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
3130adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
322, 3, 4prnc 26692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) } )
33 df-rab 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) }  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) }
3432, 33syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) } )
3534abeq2d 2392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  (
y  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  <-> 
( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3635adantrl 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3731, 36anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3837adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
40 reeanv 2707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  <-> 
( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )
4140anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
42 an4 797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
4341, 42bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
442, 3, 4crngm4 26628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
45443com23 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
46453expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4746adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4847adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
492, 3, 4rngocl 21049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
501, 49syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
51503expb 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5251adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( r H s )  e.  X )
542, 3, 4idllmulcl 26645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( ( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
551, 54sylanl1 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5655anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r H s )  e.  X
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5753, 56syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5857adantllr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5948, 58eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P )
60 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( x H y )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
6160eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( ( x H y )  e.  P  <->  ( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P
) )
6259, 61syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6362rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6463adantld 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6543, 64syl5bir 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6639, 65sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  -> 
( x H y )  e.  P ) )
6766ralrimivv 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P )
6867ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a H b )  e.  P  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
692, 4igenss 26687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
701, 7, 69syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
71 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
7271snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
7370, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
7473adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
75 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  ( a  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  ->  a  e.  P
) )
7674, 75syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  a  e.  P ) )
772, 4igenss 26687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
781, 11, 77syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
79 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  b  e. 
_V
8079snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
8178, 80sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
8281adantrl 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
83 ssel 3174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  ( b  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  ->  b  e.  P
) )
8482, 83syl5com 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  b  e.  P ) )
8576, 84orim12d 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8685adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8768, 86imim12d 68 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) )  ->  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8826, 87syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8988ralrimdvva 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9089ex 423 . . . . . 6  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9190adantrd 454 . . . . 5  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9291imdistand 673 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
93 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
94 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9592, 93, 943imtr4g 261 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) ) ) )
966, 95sylbid 206 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
972, 3, 4ispridl2 26663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
9897ex 423 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
991, 98syl 15 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
10096, 99impbid 183 1  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   {csn 3640   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   RingOpscrngo 21042  CRingOpsccring 26620   Idlcidl 26632   PrIdlcpridl 26633    IdlGen cigen 26684
This theorem is referenced by:  pridlc  26696  isdmn3  26699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-ablo 20949  df-ass 20980  df-exid 20982  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-mndo 21005  df-rngo 21043  df-com2 21078  df-crngo 26621  df-idl 26635  df-pridl 26636  df-igen 26685
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