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Theorem ispridlc 26680
Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridlc.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
ispridlc.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
ispridlc.3  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ispridlc  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Distinct variable groups:    R, a,
b    P, a, b    X, a, b    H, a, b
Allowed substitution hints:    G( a, b)

Proof of Theorem ispridlc
Dummy variables  x  y  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 26610 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  R  e.  RingOps )
2 ispridlc.1 . . . . 5  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 ispridlc.2 . . . . 5  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
4 ispridlc.3 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
52, 3, 4ispridl 26644 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) ) )
7 snssi 3942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  X  ->  { a }  C_  X )
82, 4igenidl 26673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
91, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R ) )
109adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R
) )
11 snssi 3942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  X  ->  { b }  C_  X )
122, 4igenidl 26673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
131, 11, 12syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R ) )
1413adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )
15 raleq 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R 
IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P ) )
16 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( r  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { a } )  C_  P )
)
1716orbi1d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( r  C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )
1815, 17imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( R  IdlGen  { a } )  -> 
( ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  -> 
( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
19 raleq 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  ( R 
IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
2019ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
21 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( s  C_  P  <->  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P )
)
2221orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( ( R 
IdlGen  { a } ) 
C_  P  \/  s  C_  P )  <->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) )
2320, 22imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( R  IdlGen  { b } )  -> 
( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  s  C_  P ) )  <-> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2418, 23rspc2v 3058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  IdlGen  { a } )  e.  ( Idl `  R )  /\  ( R  IdlGen  { b } )  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2510, 14, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
2625adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) ) ) )
272, 3, 4prnc 26677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) } )
28 df-rab 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x  e.  X  |  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) }  =  { x  |  (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) }
2927, 28syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { a } )  =  { x  |  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) } )
3029abeq2d 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  <-> 
( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
3130adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) ) ) )
322, 3, 4prnc 26677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) } )
33 df-rab 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { y  e.  X  |  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) }  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) }
3432, 33syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  ( R  IdlGen  { b } )  =  { y  |  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) } )
3534abeq2d 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  (
y  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  <-> 
( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3635adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
3731, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3837adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
x  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
3938adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) ) )
40 reeanv 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  <-> 
( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )
4140anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
42 an4 798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( E. r  e.  X  x  =  ( r H a )  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
4341, 42bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  <-> 
( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  (
y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) ) )
442, 3, 4crngm4 26613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
45443com23 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X
) )  ->  (
( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
46453expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4746adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
4847adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
492, 3, 4rngocl 21970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
501, 49syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  r  e.  X  /\  s  e.  X )  ->  (
r H s )  e.  X )
51503expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5251adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
r  e.  X  /\  s  e.  X )
)  ->  ( r H s )  e.  X )
5352adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( r H s )  e.  X )
542, 3, 4idllmulcl 26630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( ( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
551, 54sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
( a H b )  e.  P  /\  ( r H s )  e.  X ) )  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5655anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r H s )  e.  X
)  ->  ( (
r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5753, 56syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5857adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H s ) H ( a H b ) )  e.  P )
5948, 58eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P )
60 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( x H y )  =  ( ( r H a ) H ( s H b ) ) )
6160eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  ( ( x H y )  e.  P  <->  ( ( r H a ) H ( s H b ) )  e.  P
) )
6259, 61syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  /\  ( a H b )  e.  P )  /\  ( r  e.  X  /\  s  e.  X ) )  -> 
( ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6362rexlimdvva 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( E. r  e.  X  E. s  e.  X  ( x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) )  ->  (
x H y )  e.  P ) )
6463adantld 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  E. r  e.  X  E. s  e.  X  (
x  =  ( r H a )  /\  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6543, 64syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( ( x  e.  X  /\  E. r  e.  X  x  =  ( r H a ) )  /\  ( y  e.  X  /\  E. s  e.  X  y  =  ( s H b ) ) )  ->  ( x H y )  e.  P ) )
6639, 65sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  -> 
( ( x  e.  ( R  IdlGen  { a } )  /\  y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )  -> 
( x H y )  e.  P ) )
6766ralrimivv 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
a H b )  e.  P )  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P )
6867ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
a H b )  e.  P  ->  A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P ) )
692, 4igenss 26672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
a }  C_  X
)  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
701, 7, 69syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
71 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
7271snss 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( R  IdlGen  { a } )  <->  { a }  C_  ( R  IdlGen  { a } ) )
7370, 72sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
7473adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  a  e.  ( R  IdlGen  { a } ) )
75 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  ( a  e.  ( R 
IdlGen  { a } )  ->  a  e.  P
) )
7674, 75syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  ->  a  e.  P ) )
772, 4igenss 26672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  {
b }  C_  X
)  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
781, 11, 77syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
79 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  b  e. 
_V
8079snss 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  ( R  IdlGen  { b } )  <->  { b }  C_  ( R  IdlGen  { b } ) )
8178, 80sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  b  e.  X )  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
8281adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  b  e.  ( R  IdlGen  { b } ) )
83 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  ( b  e.  ( R 
IdlGen  { b } )  ->  b  e.  P
) )
8482, 83syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( R  IdlGen  { b } )  C_  P  ->  b  e.  P ) )
8576, 84orim12d 812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8685adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( (
( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
)  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )
8768, 86imim12d 70 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( ( A. x  e.  ( R  IdlGen  { a } ) A. y  e.  ( R  IdlGen  { b } ) ( x H y )  e.  P  ->  ( ( R  IdlGen  { a } )  C_  P  \/  ( R  IdlGen  { b } )  C_  P
) )  ->  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8826, 87syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  -> 
( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
8988ralrimdvva 2801 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. CRingOps  /\  P  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  (
x H y )  e.  P  ->  (
r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9089ex 424 . . . . . 6  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9190adantrd 455 . . . . 5  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  ->  ( A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
9291imdistand 674 . . . 4  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R ) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
93 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X )  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) ) )
94 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X )  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
( a H b )  e.  P  -> 
( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) )
9592, 93, 943imtr4g 262 . . 3  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. r  e.  ( Idl `  R
) A. s  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  r  A. y  e.  s  ( x H y )  e.  P  ->  ( r  C_  P  \/  s  C_  P ) ) )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) ) ) )
966, 95sylbid 207 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  ->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P
) ) ) ) )
972, 3, 4ispridl2 26648 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) )  ->  P  e.  ( PrIdl `  R ) )
9897ex 424 . . 3  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
991, 98syl 16 . 2  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( a H b )  e.  P  ->  ( a  e.  P  \/  b  e.  P ) ) )  ->  P  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
10096, 99impbid 184 1  |-  ( R  e. CRingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
a H b )  e.  P  ->  (
a  e.  P  \/  b  e.  P )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   {csn 3814   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   2ndc2nd 6348   RingOpscrngo 21963  CRingOpsccring 26605   Idlcidl 26617   PrIdlcpridl 26618    IdlGen cigen 26669
This theorem is referenced by:  pridlc  26681  isdmn3  26684
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-ass 21901  df-exid 21903  df-mgm 21907  df-sgr 21919  df-mndo 21926  df-rngo 21964  df-com2 21999  df-crngo 26606  df-idl 26620  df-pridl 26621  df-igen 26670
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