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Theorem ispridlc 26680
 Description: The predicate "is a prime ideal". Alternate definition for commutative rings. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
ispridlc.1
ispridlc.2
ispridlc.3
Assertion
Ref Expression
ispridlc CRingOps
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ispridlc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngorngo 26610 . . . 4 CRingOps
2 ispridlc.1 . . . . 5
3 ispridlc.2 . . . . 5
4 ispridlc.3 . . . . 5
52, 3, 4ispridl 26644 . . . 4
61, 5syl 16 . . 3 CRingOps
7 snssi 3942 . . . . . . . . . . . . 13
82, 4igenidl 26673 . . . . . . . . . . . . 13
91, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
109adantrr 698 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
11 snssi 3942 . . . . . . . . . . . . 13
122, 4igenidl 26673 . . . . . . . . . . . . 13
131, 11, 12syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
1413adantrl 697 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
15 raleq 2904 . . . . . . . . . . . . 13
16 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
1716orbi1d 684 . . . . . . . . . . . . 13
1815, 17imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
19 raleq 2904 . . . . . . . . . . . . . 14
2019ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . 13
21 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . 14
2221orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . 13
2320, 22imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
2418, 23rspc2v 3058 . . . . . . . . . . 11
2510, 14, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 CRingOps
2625adantlr 696 . . . . . . . . 9 CRingOps
272, 3, 4prnc 26677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CRingOps
28 df-rab 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2927, 28syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CRingOps
3029abeq2d 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CRingOps
3130adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CRingOps
322, 3, 4prnc 26677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CRingOps
33 df-rab 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3432, 33syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CRingOps
3534abeq2d 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CRingOps
3635adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CRingOps
3731, 36anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 CRingOps
3837adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 CRingOps
3938adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 CRingOps
40 reeanv 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 an4 798 . . . . . . . . . . . . . . 15
4341, 42bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14
442, 3, 4crngm4 26613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CRingOps
45443com23 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CRingOps
46453expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CRingOps
4746adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CRingOps
4847adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CRingOps
492, 3, 4rngocl 21970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
501, 49syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CRingOps
51503expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CRingOps
5251adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CRingOps
5352adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CRingOps
542, 3, 4idllmulcl 26630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
551, 54sylanl1 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CRingOps
5655anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CRingOps
5753, 56syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CRingOps
5857adantllr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CRingOps
5948, 58eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CRingOps
60 oveq12 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6160eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6259, 61syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CRingOps
6362rexlimdvva 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 CRingOps
6463adantld 454 . . . . . . . . . . . . . 14 CRingOps
6543, 64syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . 13 CRingOps
6639, 65sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
6766ralrimivv 2797 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
6867ex 424 . . . . . . . . . 10 CRingOps
692, 4igenss 26672 . . . . . . . . . . . . . . . 16
701, 7, 69syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 CRingOps
71 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271snss 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15
7370, 72sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14 CRingOps
7473adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13 CRingOps
75 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
772, 4igenss 26672 . . . . . . . . . . . . . . . 16
781, 11, 77syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 CRingOps
79 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079snss 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15
8178, 80sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14 CRingOps
8281adantrl 697 . . . . . . . . . . . . 13 CRingOps
83 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13
8482, 83syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12 CRingOps
8576, 84orim12d 812 . . . . . . . . . . 11 CRingOps
8685adantlr 696 . . . . . . . . . 10 CRingOps
8768, 86imim12d 70 . . . . . . . . 9 CRingOps
8826, 87syld 42 . . . . . . . 8 CRingOps
8988ralrimdvva 2801 . . . . . . 7 CRingOps
9089ex 424 . . . . . 6 CRingOps
9190adantrd 455 . . . . 5 CRingOps
9291imdistand 674 . . . 4 CRingOps
93 df-3an 938 . . . 4
94 df-3an 938 . . . 4
9592, 93, 943imtr4g 262 . . 3 CRingOps
966, 95sylbid 207 . 2 CRingOps
972, 3, 4ispridl2 26648 . . . 4
9897ex 424 . . 3
991, 98syl 16 . 2 CRingOps
10096, 99impbid 184 1 CRingOps
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   wss 3320  csn 3814   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  crngo 21963  CRingOpsccring 26605  cidl 26617  cpridl 26618   cigen 26669 This theorem is referenced by:  pridlc  26681  isdmn3  26684 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-ass 21901  df-exid 21903  df-mgm 21907  df-sgr 21919  df-mndo 21926  df-rngo 21964  df-com2 21999  df-crngo 26606  df-idl 26620  df-pridl 26621  df-igen 26670
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