MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2lem Unicode version

Theorem isprm2lem 12765
Description: Lemma for isprm2 12766. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
isprm2lem  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Distinct variable group:    P, n

Proof of Theorem isprm2lem
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neeq1 2454 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
p  =/=  1  <->  P  =/=  1 ) )
2 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
n  ||  p  <->  n  ||  P
) )
32rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
n  e.  NN  |  n  ||  P } )
43breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o ) )
5 preq2 3707 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  { 1 ,  p }  =  { 1 ,  P } )
63, 5eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } 
<->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) )
74, 6bibi12d 312 . . . 4  |-  ( p  =  P  ->  (
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
)  <->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) ) )
81, 7imbi12d 311 . . 3  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) )  <->  ( P  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o 
<->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) ) ) )
9 1idssfct 12764 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  NN  ->  { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
10 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 }  i^i  { p } )  =  (/) 
<->  -.  p  e.  {
1 } )
11 1ex 8833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
1211ensn1 6925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 1 }  ~~  1o
13 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
1413ensn1 6925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { p }  ~~  1o
15 pm54.43 7633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { 1 }  ~~  1o  /\  { p }  ~~  1o )  ->  (
( { 1 }  i^i  { p }
)  =  (/)  <->  ( {
1 }  u.  {
p } )  ~~  2o ) )
1612, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 }  i^i  { p } )  =  (/) 
<->  ( { 1 }  u.  { p }
)  ~~  2o )
1710, 16bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  p  e.  { 1 }  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
18 elsn 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { 1 }  <-> 
p  =  1 )
1917, 18xchnxbi 299 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  p  =  1  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
20 df-ne 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =/=  1  <->  -.  p  =  1 )
21 df-pr 3647 . . . . . . . . . . 11  |-  { 1 ,  p }  =  ( { 1 }  u.  { p } )
2221breq1i 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  2o  <->  ( { 1 }  u.  { p } )  ~~  2o )
2319, 20, 223bitr4i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =/=  1  <->  { 1 ,  p }  ~~  2o )
24 ensym 6910 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  ->  2o  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
25 entr 6913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { 1 ,  p }  ~~  2o  /\  2o  ~~ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  ->  { 1 ,  p }  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
2624, 25sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  ~~  2o  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o )  ->  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
2723, 26sylanb 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =/=  1  /\ 
{ n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o )  ->  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
28 prfi 7131 . . . . . . . . . . 11  |-  { 1 ,  p }  e.  Fin
29 ensym 6910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  { 1 ,  p } )
30 enfii 7080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { 1 ,  p }  e.  Fin  /\  {
n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  { 1 ,  p }
)  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3128, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3231adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
33 dfpss2 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { 1 ,  p }  C.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  <->  ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
) )
34 pssinf 7073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { 1 ,  p }  C.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3533, 34sylanbr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  /\  { 1 ,  p }  ~~  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3635an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  /\  -.  { 1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }
)  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin )
3736ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  ( -.  {
1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ->  -.  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  e.  Fin ) )
3832, 37mt4d 130 . . . . . . . 8  |-  ( ( { 1 ,  p }  C_  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  /\  { 1 ,  p }  ~~  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )  ->  { 1 ,  p }  =  {
n  e.  NN  |  n  ||  p } )
399, 27, 38syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( p  =/=  1  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )  ->  { 1 ,  p }  =  { n  e.  NN  |  n  ||  p } )
4039eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  NN  /\  ( p  =/=  1  /\  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } )
4140expr 598 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p } ) )
42 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { 1 ,  p }  ~~  2o ) )
4342, 23syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  p  =/=  1 ) )
4443biimprcd 216 . . . . . 6  |-  ( p  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  { 1 ,  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }  ->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o ) )
4641, 45impbid 183 . . . 4  |-  ( ( p  e.  NN  /\  p  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) )
4746ex 423 . . 3  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  =/=  1  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  p }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  p }  =  {
1 ,  p }
) ) )
488, 47vtoclga 2849 . 2  |-  ( P  e.  NN  ->  ( P  =/=  1  ->  ( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  { 1 ,  P } ) ) )
4948imp 418 1  |-  ( ( P  e.  NN  /\  P  =/=  1 )  -> 
( { n  e.  NN  |  n  ||  P }  ~~  2o  <->  { n  e.  NN  |  n  ||  P }  =  {
1 ,  P }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   1c1 8738   NNcn 9746    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  isprm2  12766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator