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Theorem isprm6 12788
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12787. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 12776 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 euclemma 12787 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
323expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) ) )
43biimpd 198 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
54ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
61, 5jca 518 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
7 simpl 443 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
8 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
98simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN )
1110nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
12 iddvds 12542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  P
)
14 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  CC )
1510, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  CC )
16 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  CC )
18 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  =/=  0 )
1918ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  =/=  0
)
2015, 17, 19divcan1d 9537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  x.  z )  =  P )
2113, 20breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
2221adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  ||  P
)
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN )
25 nndivdvds 12537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  NN ) )
2610, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  ||  P 
<->  ( P  /  z
)  e.  NN ) )
2723, 26mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  NN )
2827nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  ZZ )
29 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
3128, 30jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
32 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  y ) )
3332breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y ) ) )
34 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  ( P  /  z ) ) )
3534orbi1d 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  x  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y ) ) )
3633, 35imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  (
x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  y
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) ) ) )
37 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  /  z
)  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  z ) )
3837breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( ( P  /  z )  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) ) )
39 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  y  <->  P  ||  z
) )
4039orbi2d 682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  z ) ) )
4138, 40imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) ) )
4236, 41rspc2va 2891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  / 
z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4331, 42sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4422, 43mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) )
45 dvdsle 12574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4611, 27, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4715div1d 9528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
1 )  =  P )
4847breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
)  <->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4946, 48sylibrd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
) ) )
50 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR+ )
5150rpregt0d 10396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
5251ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z ) )
53 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
54 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
5553, 54mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
56 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
5710, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  RR+ )
5857rpregt0d 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )
59 lediv2 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( z  <_  1  <->  ( P  /  1 )  <_  ( P  / 
z ) ) )
6052, 55, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  ( P  / 
1 )  <_  ( P  /  z ) ) )
6149, 60sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  <_  1 ) )
62 nnle1eq1 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <_  1  <->  z  = 
1 ) )
6362ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  z  =  1 ) )
6461, 63sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  = 
1 ) )
65 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN0 )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  e.  NN0 )
68 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  NN0 )
6910, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN0 )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  e.  NN0 )
71 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  ||  P )
72 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  ||  z )
73 dvdseq 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  P  e.  NN0 )  /\  ( z  ||  P  /\  P  ||  z ) )  ->  z  =  P )
7467, 70, 71, 72, 73syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  =  P )
7574ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  z  ->  z  =  P ) )
7664, 75orim12d 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z )  ->  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
7776imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7844, 77syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7978an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
8079expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
8180ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
82 isprm2 12766 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
837, 81, 82sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  Prime )
846, 83impbii 180 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  domnchr  16486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759
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