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Theorem isprm6 13109
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 13108. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 13097 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 euclemma 13108 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
323expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) ) )
43biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
54ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
61, 5jca 519 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
7 simpl 444 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
8 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
98simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN )
1110nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
12 iddvds 12863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  P
)
14 nncn 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  CC )
16 nncn 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  CC )
18 nnne0 10032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  =/=  0 )
1918ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  =/=  0
)
2015, 17, 19divcan1d 9791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  x.  z )  =  P )
2113, 20breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
2221adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
23 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  ||  P
)
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN )
25 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  NN ) )
2610, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  ||  P 
<->  ( P  /  z
)  e.  NN ) )
2723, 26mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  NN )
2827nnzd 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  ZZ )
29 nnz 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
3128, 30jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
32 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  y ) )
3332breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y ) ) )
34 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  ( P  /  z ) ) )
3534orbi1d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  x  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y ) ) )
3633, 35imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  (
x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  y
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) ) ) )
37 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  /  z
)  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  z ) )
3837breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( ( P  /  z )  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) ) )
39 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  y  <->  P  ||  z
) )
4039orbi2d 683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  z ) ) )
4138, 40imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) ) )
4236, 41rspc2va 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  / 
z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4331, 42sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4422, 43mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) )
45 dvdsle 12895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4611, 27, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4715div1d 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
1 )  =  P )
4847breq1d 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
)  <->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4946, 48sylibrd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
) ) )
50 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR+ )
5150rpregt0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
5251ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z ) )
53 1rp 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
54 rpregt0 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
5553, 54mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
56 nnrp 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
5710, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  RR+ )
5857rpregt0d 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )
59 lediv2 9900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( z  <_  1  <->  ( P  /  1 )  <_  ( P  / 
z ) ) )
6052, 55, 58, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  ( P  / 
1 )  <_  ( P  /  z ) ) )
6149, 60sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  <_  1 ) )
62 nnle1eq1 10028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <_  1  <->  z  = 
1 ) )
6362ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  z  =  1 ) )
6461, 63sylibd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  = 
1 ) )
65 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
6665ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN0 )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  e.  NN0 )
68 nnnn0 10228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  NN0 )
6910, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN0 )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  e.  NN0 )
71 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  ||  P )
72 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  ||  z )
73 dvdseq 12897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  P  e.  NN0 )  /\  ( z  ||  P  /\  P  ||  z ) )  ->  z  =  P )
7467, 70, 71, 72, 73syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  =  P )
7574ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  z  ->  z  =  P ) )
7664, 75orim12d 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z )  ->  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
7776imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7844, 77syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7978an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
8079expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
8180ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
82 isprm2 13087 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
837, 81, 82sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  Prime )
846, 83impbii 181 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612    || cdivides 12852   Primecprime 13079
This theorem is referenced by:  domnchr  16813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080
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