MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprs Unicode version

Theorem isprs 14080
Description: Property of being a preordered set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isprs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isprs  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isprs
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 dfsbcq 3006 . . . . 5  |-  ( (
Base `  f )  =  ( Base `  K
)  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  f )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
4 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
5 dfsbcq 3006 . . . . . 6  |-  ( ( le `  f )  =  ( le `  K )  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
64, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
76sbcbidv 3058 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
83, 7bitrd 244 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
9 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
10 fvex 5555 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
11 isprs.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 eqtr3 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  B  =  ( Base `  K
) )  ->  b  =  B )
1311, 12mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  b  =  B )
14 raleq 2749 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1615raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1713, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
18 isprs.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 eqtr3 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  .<_  =  ( le `  K ) )  -> 
r  =  .<_  )
2018, 19mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  r  =  .<_  )
21 breq 4041 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r x  <->  x  .<_  x ) )
22 breq 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
23 breq 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2422, 23anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
25 breq 4041 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
2624, 25imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r
z )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
2721, 26anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <-> 
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2827ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
29282ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3020, 29syl 15 . . . . 5  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3117, 30sylan9bb 680 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
329, 10, 31sbc2ie 3071 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
338, 32syl6bb 252 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
34 df-preset 14078 . 2  |-  Preset  =  {
f  |  [. ( Base `  f )  / 
b ]. [. ( le
`  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) }
3533, 34elab4g 2931 1  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231    Preset cpreset 14076
This theorem is referenced by:  prslem  14081  ispos2  14098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-preset 14078
  Copyright terms: Public domain W3C validator