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Theorem isprs 14379
Description: Property of being a preordered set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isprs.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
isprs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
isprs  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, K, y, z    x, B, y, z    x,  .<_ , y, z

Proof of Theorem isprs
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
2 dfsbcq 3155 . . . . 5  |-  ( (
Base `  f )  =  ( Base `  K
)  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  f )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
4 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
5 dfsbcq 3155 . . . . . 6  |-  ( ( le `  f )  =  ( le `  K )  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
76sbcbidv 3207 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
83, 7bitrd 245 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
9 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
10 fvex 5734 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
11 isprs.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 eqtr3 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  B  =  ( Base `  K
) )  ->  b  =  B )
1311, 12mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  b  =  B )
14 raleq 2896 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1514raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1615raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
1713, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) ) ) )
18 isprs.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 eqtr3 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  .<_  =  ( le `  K ) )  -> 
r  =  .<_  )
2018, 19mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  r  =  .<_  )
21 breq 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r x  <->  x  .<_  x ) )
22 breq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
23 breq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r z  <->  y  .<_  z ) )
2422, 23anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  /\  y r z )  <-> 
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
25 breq 4206 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r z  <->  x  .<_  z ) )
2624, 25imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r
z )  <->  ( (
x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
2721, 26anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <-> 
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
2827ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
29282ralbidv 2739 . . . . . 6  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x
r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3020, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
3117, 30sylan9bb 681 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
329, 10, 31sbc2ie 3220 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
338, 32syl6bb 253 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y
r z )  ->  x r z ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
34 df-preset 14377 . 2  |-  Preset  =  {
f  |  [. ( Base `  f )  / 
b ]. [. ( le
`  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b  ( x r x  /\  ( ( x r y  /\  y r z )  ->  x r z ) ) }
3533, 34elab4g 3078 1  |-  ( K  e.  Preset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528    Preset cpreset 14375
This theorem is referenced by:  prslem  14380  ispos2  14397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-preset 14377
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