Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ispsubsp2 Unicode version

Theorem ispsubsp2 30006
Description: The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
ispsubsp2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    q, p, r, K    X, p, q, r    A, p, q
Allowed substitution hints:    D( r, q, p)    S( r, q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)

Proof of Theorem ispsubsp2
StepHypRef Expression
1 psubspset.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 psubspset.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 psubspset.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
51, 2, 3, 4ispsubsp 30005 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
6 ralcom 2785 . . . . . . 7  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. r  e.  X  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
7 r19.23v 2744 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
87ralbii 2652 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  A  A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
96, 8bitri 240 . . . . . 6  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
109ralbii 2652 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
11 ralcom 2785 . . . . . 6  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
12 r19.23v 2744 . . . . . . 7  |-  ( A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1312ralbii 2652 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1411, 13bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1510, 14bitri 240 . . . 4  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1615a1i 10 . . 3  |-  ( K  e.  D  ->  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X ) ) )
1716anbi2d 684 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  (
( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )
)  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X
) ) ) )
185, 17bitrd 244 1  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   lecple 13423   joincjn 14288   Atomscatm 29524   PSubSpcpsubsp 29756
This theorem is referenced by:  psubspi  30007  paddclN  30102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-ov 5984  df-psubsp 29763
  Copyright terms: Public domain W3C validator