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Theorem ispsubsp2 30240
Description: The predicate "is a projective subspace". (Contributed by NM, 13-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
psubspset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
psubspset.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
psubspset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
psubspset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
ispsubsp2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, r    q, p, r, K    X, p, q, r    A, p, q
Allowed substitution hints:    D( r, q, p)    S( r, q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)

Proof of Theorem ispsubsp2
StepHypRef Expression
1 psubspset.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 psubspset.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 psubspset.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 psubspset.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
51, 2, 3, 4ispsubsp 30239 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
6 ralcom 2836 . . . . . . 7  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. r  e.  X  ( p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
7 r19.23v 2790 . . . . . . . 8  |-  ( A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
87ralbii 2698 . . . . . . 7  |-  ( A. p  e.  A  A. r  e.  X  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
96, 8bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
109ralbii 2698 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
11 ralcom 2836 . . . . . 6  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
12 r19.23v 2790 . . . . . . 7  |-  ( A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1312ralbii 2698 . . . . . 6  |-  ( A. p  e.  A  A. q  e.  X  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1411, 13bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. q  e.  X  A. p  e.  A  ( E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1510, 14bitri 241 . . . 4  |-  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  (
p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( K  e.  D  ->  ( A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )  <->  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X ) ) )
1716anbi2d 685 . 2  |-  ( K  e.  D  ->  (
( X  C_  A  /\  A. q  e.  X  A. r  e.  X  A. p  e.  A  ( p  .<_  ( q 
.\/  r )  ->  p  e.  X )
)  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r )  ->  p  e.  X
) ) ) )
185, 17bitrd 245 1  |-  ( K  e.  D  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  A  /\  A. p  e.  A  ( E. q  e.  X  E. r  e.  X  p  .<_  ( q  .\/  r
)  ->  p  e.  X ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   lecple 13499   joincjn 14364   Atomscatm 29758   PSubSpcpsubsp 29990
This theorem is referenced by:  psubspi  30241  paddclN  30336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ov 6051  df-psubsp 29997
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