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Theorem isreg2 17105
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, c, p, x, J    X, c,
o, p, x

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  Reg )
2 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  c  e.  ( Clsd `  J ) )
3 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  X )
4 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 16665 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  X  =  U. J
)
73, 6eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  U. J
)
8 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  -.  x  e.  c )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
109regsep2 17104 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  e.  U. J  /\  -.  x  e.  c ) )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )
12113expia 1153 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X ) )  -> 
( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
14 topontop 16664 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
165adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  X  =  U. J )
1716difeq1d 3293 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  =  ( U. J  \ 
y ) )
189opncld 16770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1914, 18sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2017, 19eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
21 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  (
x  e.  c  <->  x  e.  ( X  \  y
) ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  -.  x  e.  ( X 
\  y ) ) )
23 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \ 
y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  y ) )
2423baibr 872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  y  <->  x  e.  ( X  \ 
y ) ) )
2524con1bid 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  ( X  \  y )  <->  x  e.  y ) )
2622, 25sylan9bb 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  x  e.  y
) )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  c  =  ( X 
\  y ) )
2827sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( c  C_  o  <->  ( X  \  y ) 
C_  o ) )
29283anbi1d 1256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
30292rexbidv 2586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3332rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3420, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2705 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
36 toponss 16667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
3736sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
38 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  p )
395ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  X  =  U. J )
4039difeq1d 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  =  ( U. J  \  o
) )
4114ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
42 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  o  e.  J )
439opncld 16770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
o )  e.  (
Clsd `  J )
)
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
4540, 44eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
46 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  i^i  o )  =  ( o  i^i  p
)
47 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( o  i^i  p )  =  (/) )
4846, 47syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( p  i^i  o )  =  (/) )
49 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
50 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  e.  J )
51 toponss 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  p  e.  J )  ->  p  C_  X )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  X
)
53 reldisj 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p 
C_  X  ->  (
( p  i^i  o
)  =  (/)  <->  p  C_  ( X  \  o ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
p  i^i  o )  =  (/)  <->  p  C_  ( X 
\  o ) ) )
5548, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  ( X  \  o ) )
569clsss2 16809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  p  C_  ( X  \  o
) )  ->  (
( cls `  J
) `  p )  C_  ( X  \  o
) )
5745, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  ( X  \  o ) )
58 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  y )  C_  o
)
59 difcom 3538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  y ) 
C_  o  <->  ( X  \  o )  C_  y
)
6058, 59sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  C_  y
)
6157, 60sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  y
)
6238, 61jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
6362expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
o  e.  J  /\  p  e.  J )
)  ->  ( (
( X  \  y
)  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6463anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  /\  p  e.  J )  ->  (
( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6564reximdva 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6665rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6737, 66embantd 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6867ralimdva 2621 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6935, 68syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7034, 69syld 40 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7170ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7271imp 418 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
73 isreg 17060 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
7513, 74impbida 805 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   clsccl 16755   Regcreg 17037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cls 16758  df-reg 17044
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