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Theorem isreg2 17161
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, c, p, x, J    X, c,
o, p, x

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  Reg )
2 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  c  e.  ( Clsd `  J ) )
3 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  X )
4 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 16721 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  X  =  U. J
)
73, 6eleqtrd 2392 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  U. J
)
8 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  -.  x  e.  c )
9 eqid 2316 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
109regsep2 17160 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  e.  U. J  /\  -.  x  e.  c ) )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )
12113expia 1153 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X ) )  -> 
( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2669 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
14 topontop 16720 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
165adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  X  =  U. J )
1716difeq1d 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  =  ( U. J  \ 
y ) )
189opncld 16826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1914, 18sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2017, 19eqeltrd 2390 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
21 eleq2 2377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  (
x  e.  c  <->  x  e.  ( X  \  y
) ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  -.  x  e.  ( X 
\  y ) ) )
23 eldif 3196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \ 
y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  y ) )
2423baibr 872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  y  <->  x  e.  ( X  \ 
y ) ) )
2524con1bid 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  ( X  \  y )  <->  x  e.  y ) )
2622, 25sylan9bb 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  x  e.  y
) )
27 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  c  =  ( X 
\  y ) )
2827sseq1d 3239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( c  C_  o  <->  ( X  \  y ) 
C_  o ) )
29283anbi1d 1256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
30292rexbidv 2620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2593 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3332rspcv 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3420, 33syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
36 toponss 16723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
3736sselda 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
38 simprr2 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  p )
395ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  X  =  U. J )
4039difeq1d 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  =  ( U. J  \  o
) )
4114ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
42 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  o  e.  J )
439opncld 16826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
o )  e.  (
Clsd `  J )
)
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
4540, 44eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
46 incom 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  i^i  o )  =  ( o  i^i  p
)
47 simprr3 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( o  i^i  p )  =  (/) )
4846, 47syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( p  i^i  o )  =  (/) )
49 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
50 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  e.  J )
51 toponss 16723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  p  e.  J )  ->  p  C_  X )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  X
)
53 reldisj 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p 
C_  X  ->  (
( p  i^i  o
)  =  (/)  <->  p  C_  ( X  \  o ) ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
p  i^i  o )  =  (/)  <->  p  C_  ( X 
\  o ) ) )
5548, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  ( X  \  o ) )
569clsss2 16865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  p  C_  ( X  \  o
) )  ->  (
( cls `  J
) `  p )  C_  ( X  \  o
) )
5745, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  ( X  \  o ) )
58 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  y )  C_  o
)
59 difcom 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  y ) 
C_  o  <->  ( X  \  o )  C_  y
)
6058, 59sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  C_  y
)
6157, 60sstrd 3223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  y
)
6238, 61jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
6362expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
o  e.  J  /\  p  e.  J )
)  ->  ( (
( X  \  y
)  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6463anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  /\  p  e.  J )  ->  (
( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6564reximdva 2689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6665rexlimdva 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6737, 66embantd 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6867ralimdva 2655 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6935, 68syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7034, 69syld 40 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7170ralrimdva 2667 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7271imp 418 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
73 isreg 17116 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
7513, 74impbida 805 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578    \ cdif 3183    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   U.cuni 3864   ` cfv 5292   Topctop 16687  TopOnctopon 16688   Clsdccld 16809   clsccl 16811   Regcreg 17093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-top 16692  df-topon 16695  df-cld 16812  df-cls 16814  df-reg 17100
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