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Theorem isreg2 17443
 Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2 TopOn
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 983 . . . . 5 TopOn
2 simp2l 984 . . . . 5 TopOn
3 simp2r 985 . . . . . 6 TopOn
4 simp1l 982 . . . . . . 7 TopOn TopOn
5 toponuni 16994 . . . . . . 7 TopOn
64, 5syl 16 . . . . . 6 TopOn
73, 6eleqtrd 2514 . . . . 5 TopOn
8 simp3 960 . . . . 5 TopOn
9 eqid 2438 . . . . . 6
109regsep2 17442 . . . . 5
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1187 . . . 4 TopOn
12113expia 1156 . . 3 TopOn
1312ralrimivva 2800 . 2 TopOn
14 topontop 16993 . . . 4 TopOn
1514adantr 453 . . 3 TopOn
165adantr 453 . . . . . . . . 9 TopOn
1716difeq1d 3466 . . . . . . . 8 TopOn
189opncld 17099 . . . . . . . . 9
1914, 18sylan 459 . . . . . . . 8 TopOn
2017, 19eqeltrd 2512 . . . . . . 7 TopOn
21 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12
2221notbid 287 . . . . . . . . . . 11
23 eldif 3332 . . . . . . . . . . . . 13
2423baibr 874 . . . . . . . . . . . 12
2524con1bid 322 . . . . . . . . . . 11
2622, 25sylan9bb 682 . . . . . . . . . 10
27 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13
2827sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . 12
29283anbi1d 1259 . . . . . . . . . . 11
30292rexbidv 2750 . . . . . . . . . 10
3126, 30imbi12d 313 . . . . . . . . 9
3231ralbidva 2723 . . . . . . . 8
3332rspcv 3050 . . . . . . 7
3420, 33syl 16 . . . . . 6 TopOn
35 ralcom3 2875 . . . . . . 7
36 toponss 16996 . . . . . . . . . 10 TopOn
3736sselda 3350 . . . . . . . . 9 TopOn
38 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
395ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
4039difeq1d 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4114ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
42 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
439opncld 17099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4441, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
4540, 44eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
46 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
4846, 47syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
49 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
50 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
51 toponss 16996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
5249, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 TopOn
53 reldisj 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
5548, 54mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
569clsss2 17138 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5745, 55, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
58 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
59 difcom 3714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6058, 59sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
6157, 60sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
6238, 61jca 520 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6362expr 600 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6463anassrs 631 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6564reximdva 2820 . . . . . . . . . 10 TopOn
6665rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9 TopOn
6737, 66embantd 53 . . . . . . . 8 TopOn
6867ralimdva 2786 . . . . . . 7 TopOn
6935, 68syl5bi 210 . . . . . 6 TopOn
7034, 69syld 43 . . . . 5 TopOn
7170ralrimdva 2798 . . . 4 TopOn
7271imp 420 . . 3 TopOn
73 isreg 17398 . . 3
7415, 72, 73sylanbrc 647 . 2 TopOn
7513, 74impbida 807 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   cdif 3319   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cuni 4017  cfv 5456  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccld 17082  ccl 17084  creg 17375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cls 17087  df-reg 17382
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