Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm Structured version   Unicode version

Theorem isrhm 15826
 Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhm.m mulGrp
isrhm.n mulGrp
Assertion
Ref Expression
isrhm RingHom MndHom

Proof of Theorem isrhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrhm2 15823 . . 3 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
21elmpt2cl 6290 . 2 RingHom
3 oveq12 6092 . . . . . 6
4 fveq2 5730 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
5 fveq2 5730 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
64, 5oveqan12d 6102 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
73, 6ineq12d 3545 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
8 ovex 6108 . . . . . 6
98inex1 4346 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp
107, 1, 9ovmpt2a 6206 . . . 4 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
1110eleq2d 2505 . . 3 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
12 elin 3532 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp MndHom mulGrp
13 isrhm.m . . . . . . . 8 mulGrp
14 isrhm.n . . . . . . . 8 mulGrp
1513, 14oveq12i 6095 . . . . . . 7 MndHom mulGrp MndHom mulGrp
1615eqcomi 2442 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrp MndHom
1716eleq2i 2502 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp MndHom
1817anbi2i 677 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrp MndHom
1912, 18bitri 242 . . 3 mulGrp MndHom mulGrp MndHom
2011, 19syl6bb 254 . 2 RingHom MndHom
212, 20biadan2 625 1 RingHom MndHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   cin 3321  cfv 5456  (class class class)co 6083   MndHom cmhm 14738   cghm 15005  mulGrpcmgp 15650  crg 15662   RingHom crh 15819 This theorem is referenced by:  rhmmhm  15827  rhmghm  15828  isrhm2d  15831  rhmco  15834  pwsco1rhm  15835  pwsco2rhm  15836  resrhm  15899  pwsdiagrhm  15903  rhmpropd  15905 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mhm 14740  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-rnghom 15821
 Copyright terms: Public domain W3C validator