MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhmd Unicode version

Theorem isrhmd 15523
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrhmd.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
isrhmd.n  |-  N  =  ( 1r `  S
)
isrhmd.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
isrhmd.u  |-  .X.  =  ( .r `  S )
isrhmd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
isrhmd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
isrhmd.ho  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
isrhmd.ht  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
isrhmd.c  |-  C  =  ( Base `  S
)
isrhmd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isrhmd.q  |-  .+^  =  ( +g  `  S )
isrhmd.f  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
isrhmd.hp  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isrhmd  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, C, y    x, F, y   
x,  .+ , y    x,  .+^ , y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    .X. ( x, y)    .1. ( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd
StepHypRef Expression
1 isrhmd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 isrhmd.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
3 isrhmd.n . 2  |-  N  =  ( 1r `  S
)
4 isrhmd.t . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 isrhmd.u . 2  |-  .X.  =  ( .r `  S )
6 isrhmd.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
7 isrhmd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  Ring )
8 isrhmd.ho . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  N )
9 isrhmd.ht . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.X.  ( F `  y ) ) )
10 isrhmd.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  S
)
11 isrhmd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
12 isrhmd.q . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  S )
13 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
146, 13syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
15 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( S  e.  Ring  ->  S  e. 
Grp )
167, 15syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Grp )
17 isrhmd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
18 isrhmd.hp . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( F `  x ) 
.+^  ( F `  y ) ) )
191, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18isghmd 14708 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R 
GrpHom  S ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19isrhm2d 15522 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R RingHom  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   1rcur 15355   RingHom crh 15510
This theorem is referenced by:  issrngd  15642  evlslem1  19415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mhm 14431  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-rnghom 15512
  Copyright terms: Public domain W3C validator