MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngid Structured version   Unicode version

Theorem isrngid 15689
Description: Properties showing that an element  I is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
rngidm.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
rngidm.u  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrngid  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, R    x,  .x.    x,  .1.

Proof of Theorem isrngid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 rngidm.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2mgpbas 15654 . 2  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  R ) )
4 rngidm.u . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
51, 4rngidval 15666 . 2  |-  .1.  =  ( 0g `  (mulGrp `  R ) )
6 rngidm.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
71, 6mgpplusg 15652 . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
82, 6rngideu 15681 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  E! y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
9 reurex 2922 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  A. x  e.  B  (
( y  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x )  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( ( y  .x.  x )  =  x  /\  ( x  .x.  y )  =  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. y  e.  B  A. x  e.  B  ( (
y  .x.  x )  =  x  /\  (
x  .x.  y )  =  x ) )
113, 5, 7, 10ismgmid 14710 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( I  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( ( I  .x.  x
)  =  x  /\  ( x  .x.  I )  =  x ) )  <-> 
.1.  =  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   .rcmulr 13530  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   1rcur 15662
This theorem is referenced by:  imasrng  15725  subrg1  15878  psr1  16475  cnfld1  16726  mat1  27459  erng1lem  31784  erngdvlem4-rN  31796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665
  Copyright terms: Public domain W3C validator