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Theorem isrngod 21817
Description: Conditions that determine a ring. (Changed label from isrngd 15627 to isrngod 21817-NM 2-Aug-2013.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isringod.1  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
isringod.2  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
isringod.3  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
isringod.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
isringod.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
isringod.6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
isringod.7  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
isringod.8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
isringod.9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
Assertion
Ref Expression
isrngod  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Distinct variable groups:    ph, x, y, z    x, G, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z    x, U, y
Allowed substitution hint:    U( z)

Proof of Theorem isrngod
StepHypRef Expression
1 isringod.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  AbelOp )
2 isringod.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( X  X.  X ) --> X )
3 isringod.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
43, 3xpeq12d 4845 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  X
)  =  ( ran 
G  X.  ran  G
) )
54, 3feq23d 5530 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : ( X  X.  X ) --> X  <->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
)
62, 5mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )
7 isringod.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
8 isringod.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
9 isringod.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
107, 8, 93jca 1134 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
1110ralrimivvva 2744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
123raleqdv 2855 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
133, 12raleqbidv 2861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
143, 13raleqbidv 2861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  <->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
1511, 14mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
16 isringod.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  X )
17 isringod.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( U H y )  =  y )
18 isringod.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y H U )  =  y )
1917, 18jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
2019ralrimiva 2734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )
21 oveq1 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
2221eqeq1d 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  =  y  <->  ( U H y )  =  y ) )
23 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  U  ->  (
y H x )  =  ( y H U ) )
2423eqeq1d 2397 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U  ->  (
( y H x )  =  y  <->  ( y H U )  =  y ) )
2522, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U  ->  (
( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2625ralbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) ) )
2726rspcev 2997 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  X  /\  A. y  e.  X  ( ( U H y )  =  y  /\  ( y H U )  =  y ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) )
2816, 20, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
293raleqdv 2855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
303, 29rexeqbidv 2862 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y )  <->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
3128, 30mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) )
3215, 31jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )
331, 6, 32jca31 521 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
34 rnexg 5073 . . . . . 6  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  ran  G  e.  _V )
351, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  e.  _V )
36 xpexg 4931 . . . . 5  |-  ( ( ran  G  e.  _V  /\ 
ran  G  e.  _V )  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e. 
_V )
3735, 35, 36syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )
38 fex 5910 . . . 4  |-  ( ( H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G  /\  ( ran  G  X.  ran  G )  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
396, 37, 38syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
40 eqid 2389 . . . 4  |-  ran  G  =  ran  G
4140isrngo 21816 . . 3  |-  ( H  e.  _V  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( ran 
G  X.  ran  G
) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4239, 41syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( ran  G  X.  ran  G ) --> ran  G )  /\  ( A. x  e. 
ran  G A. y  e.  ran  G A. z  e.  ran  G ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  G A. y  e.  ran  G ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
4333, 42mpbird 224 1  |-  ( ph  -> 
<. G ,  H >.  e.  RingOps )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901   <.cop 3762    X. cxp 4818   ran crn 4821   -->wf 5392  (class class class)co 6022   AbelOpcablo 21719   RingOpscrngo 21813
This theorem is referenced by:  rngosn  21842  iscringd  26302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-rngo 21814
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