Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrngod Structured version   Unicode version

Theorem isrngod 21959
 Description: Conditions that determine a ring. (Changed label from isrngd 15690 to isrngod 21959-NM 2-Aug-2013.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isringod.1
isringod.2
isringod.3
isringod.4
isringod.5
isringod.6
isringod.7
isringod.8
isringod.9
Assertion
Ref Expression
isrngod
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem isrngod
StepHypRef Expression
1 isringod.1 . . 3
2 isringod.3 . . . 4
3 isringod.2 . . . . . 6
43, 3xpeq12d 4895 . . . . 5
54, 3feq23d 5580 . . . 4
62, 5mpbid 202 . . 3
7 isringod.4 . . . . . . 7
8 isringod.5 . . . . . . 7
9 isringod.6 . . . . . . 7
107, 8, 93jca 1134 . . . . . 6
1110ralrimivvva 2791 . . . . 5
123raleqdv 2902 . . . . . . 7
133, 12raleqbidv 2908 . . . . . 6
143, 13raleqbidv 2908 . . . . 5
1511, 14mpbid 202 . . . 4
16 isringod.7 . . . . . 6
17 isringod.8 . . . . . . . 8
18 isringod.9 . . . . . . . 8
1917, 18jca 519 . . . . . . 7
2019ralrimiva 2781 . . . . . 6
21 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
2221eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
23 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10
2423eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9
2522, 24anbi12d 692 . . . . . . . 8
2625ralbidv 2717 . . . . . . 7
2726rspcev 3044 . . . . . 6
2816, 20, 27syl2anc 643 . . . . 5
293raleqdv 2902 . . . . . 6
303, 29rexeqbidv 2909 . . . . 5
3128, 30mpbid 202 . . . 4
3215, 31jca 519 . . 3
331, 6, 32jca31 521 . 2
34 rnexg 5123 . . . . . 6
351, 34syl 16 . . . . 5
36 xpexg 4981 . . . . 5
3735, 35, 36syl2anc 643 . . . 4
38 fex 5961 . . . 4
396, 37, 38syl2anc 643 . . 3
40 eqid 2435 . . . 4
4140isrngo 21958 . . 3
4239, 41syl 16 . 2
4333, 42mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948  cop 3809   cxp 4868   crn 4871  wf 5442  (class class class)co 6073  cablo 21861  crngo 21955 This theorem is referenced by:  rngosn  21984  iscringd  26600 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-rngo 21956
 Copyright terms: Public domain W3C validator