HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  issh3 Unicode version

Theorem issh3 21799
Description: Subspace  H of a Hilbert space. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
issh3  |-  ( H 
C_  ~H  ->  ( H  e.  SH  <->  ( 0h  e.  H  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y
)  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  (
x  .h  y )  e.  H ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, H

Proof of Theorem issh3
StepHypRef Expression
1 issh2 21788 . 2  |-  ( H  e.  SH  <->  ( ( H  C_  ~H  /\  0h  e.  H )  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y
)  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  (
x  .h  y )  e.  H ) ) )
2 anass 630 . . 3  |-  ( ( ( H  C_  ~H  /\ 
0h  e.  H )  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H ) )  <-> 
( H  C_  ~H  /\  ( 0h  e.  H  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H ) ) ) )
32baib 871 . 2  |-  ( H 
C_  ~H  ->  ( ( ( H  C_  ~H  /\ 
0h  e.  H )  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H ) )  <-> 
( 0h  e.  H  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H ) ) ) )
41, 3syl5bb 248 1  |-  ( H 
C_  ~H  ->  ( H  e.  SH  <->  ( 0h  e.  H  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y
)  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  (
x  .h  y )  e.  H ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152  (class class class)co 5858   CCcc 8735   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   0hc0v 21504   SHcsh 21508
This theorem is referenced by:  nlelshi  22640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-sh 21786
  Copyright terms: Public domain W3C validator