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Theorem issiga 24496
Description: An alternative definition of the sigma-algebra, for a given base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
issiga  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, O    x, S

Proof of Theorem issiga
Dummy variables  o 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5760 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  O  e.  _V )
2 elex 2966 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  ->  S  e.  _V )
31, 2jca 520 . . 3  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
)
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  ->  ( O  e.  _V  /\  S  e. 
_V ) ) )
5 simpr1 964 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  S )
6 elex 2966 . . . . 5  |-  ( O  e.  S  ->  O  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )  ->  O  e.  _V )
87a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  ->  O  e.  _V )
)
98anc2ri 543 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )  -> 
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )
) )
10 df-siga 24493 . . . 4  |- sigAlgebra  =  ( o  e.  _V  |->  { s  |  ( s 
C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) } )
11 sigaex 24494 . . . 4  |-  { s  |  ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) ) }  e.  _V
12 pweq 3804 . . . . . . 7  |-  ( o  =  O  ->  ~P o  =  ~P O
)
1312sseq2d 3378 . . . . . 6  |-  ( o  =  O  ->  (
s  C_  ~P o  <->  s 
C_  ~P O ) )
14 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  ~P O  <->  S 
C_  ~P O ) )
1513, 14sylan9bb 682 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( s  C_  ~P o 
<->  S  C_  ~P O
) )
16 eleq12 2500 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  e.  s  <-> 
O  e.  S ) )
17 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
18 difeq1 3460 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  O  ->  (
o  \  x )  =  ( O  \  x ) )
1918adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( o  \  x
)  =  ( O 
\  x ) )
2019eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  s ) )
21 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( O  \  x
)  e.  s  <->  ( O  \  x )  e.  S
) )
2221adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( O  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2320, 22bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  \  x )  e.  s  <-> 
( O  \  x
)  e.  S ) )
2417, 23raleqbidv 2918 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  <->  A. x  e.  S  ( O  \  x
)  e.  S ) )
25 pweq 3804 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
26 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  ( U. x  e.  s  <->  U. x  e.  S ) )
2726imbi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  (
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <-> 
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
2825, 27raleqbidv 2918 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  ~P  s ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) )
2928adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s )  <->  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
3016, 24, 293anbi123d 1255 . . . . 5  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e. 
~P  s ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) )  <->  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om 
->  U. x  e.  S
) ) ) )
3115, 30anbi12d 693 . . . 4  |-  ( ( o  =  O  /\  s  =  S )  ->  ( ( s  C_  ~P o  /\  (
o  e.  s  /\  A. x  e.  s  ( o  \  x )  e.  s  /\  A. x  e.  ~P  s
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  s ) ) )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3210, 11, 31abfmpel 24069 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
3332a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  _V  ->  (
( O  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O )  <->  ( S  C_ 
~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) ) )
344, 9, 33pm5.21ndd 345 1  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  (sigAlgebra `  O
)  <->  ( S  C_  ~P O  /\  ( O  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( O  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   class class class wbr 4214   omcom 4847   ` cfv 5456    ~<_ cdom 7109  sigAlgebracsiga 24492
This theorem is referenced by:  baselsiga  24500  sigasspw  24501  issgon  24508  isrnsigau  24512  dmvlsiga  24514  pwsiga  24515  prsiga  24516  sigainb  24521  insiga  24522  imambfm  24614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-siga 24493
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