MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issqf Structured version   Unicode version

Theorem issqf 20911
Description: Two ways to say that a number is squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
issqf  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem issqf
StepHypRef Expression
1 isnsqf 20910 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =  0  <->  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
21necon3abid 2631 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  -.  E. p  e.  Prime  (
p ^ 2 ) 
||  A ) )
3 ralnex 2707 . . 3  |-  ( A. p  e.  Prime  -.  (
p ^ 2 ) 
||  A  <->  -.  E. p  e.  Prime  ( p ^
2 )  ||  A
)
4 1nn0 10229 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
5 pccl 13215 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
65ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
7 nn0ltp1le 10324 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( p  pCnt  A )  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
84, 6, 7sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( p  pCnt  A ) ) )
9 1re 9082 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
106nn0red 10267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  RR )
11 ltnle 9147 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 1  <  (
p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
13 df-2 10050 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1413breq1i 4211 . . . . . . 7  |-  ( 2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )
)
15 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
16 nnz 10295 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
17 2nn0 10230 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
18 pcdvdsb 13234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
1917, 18mp3an3 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  <_  ( p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 )  ||  A ) )
2015, 16, 19syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( 2  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2114, 20syl5bbr 251 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( 1  +  1 )  <_  (
p  pCnt  A )  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
228, 12, 213bitr3d 275 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p 
pCnt  A )  <_  1  <->  ( p ^ 2 ) 
||  A ) )
2322con1bid 321 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( -.  ( p ^ 2 )  ||  A 
<->  ( p  pCnt  A
)  <_  1 ) )
2423ralbidva 2713 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  -.  ( p ^ 2 )  ||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
253, 24syl5bbr 251 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( -.  E. p  e.  Prime  ( p ^ 2 ) 
||  A  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  1 ) )
262, 25bitrd 245 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( mmu `  A
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ^cexp 11374    || cdivides 12844   Primecprime 13071    pCnt cpc 13202   mmucmu 20869
This theorem is referenced by:  sqfpc  20912  mumullem2  20955  sqff1o  20957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-mu 20875
  Copyright terms: Public domain W3C validator