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Theorem issref 5214
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem issref
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2679 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x R x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x R x ) )
2 vex 2927 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 opelresi 5125 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A )
5 df-br 4181 . . . . 5  |-  ( x R x  <->  <. x ,  x >.  e.  R
)
65bicomi 194 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  <->  x R x )
74, 6imbi12i 317 . . 3  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  ( x  e.  A  ->  x R x ) )
87albii 1572 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x R x ) )
9 ralidm 3699 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
10 ralv 2937 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
119, 10bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
12 df-ral 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
13 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
14 opelresg 5120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
( <. x ,  z
>.  e.  _I  /\  x  e.  A ) ) )
15 df-br 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  <->  <. x ,  z >.  e.  _I  )
16 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
1716ideq 4992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  _I  z  <->  x  =  z )
18 opelresi 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
19 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
20 opeq2 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  x >.  =  <. x ,  z >. )
2120eleq1d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  x >.  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
2221biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  ->  ( x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) )
2319, 22syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2418, 23syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (
x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) ) )
2524pm2.43i 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2625com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2717, 26sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2815, 27sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  _I  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
2928imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e.  A )  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) )
3014, 29syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
3130com3r 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
3231ralrimiv 2756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3313, 32syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
342, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  ->  (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3534sps 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( x  e. 
_V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3612, 35sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3736ralimi 2749 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. x  e.  _V  A. z  e. 
_V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) )
38 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  <->  <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A ) ) )
39 eleq1 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4038, 39imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) ) )
4140ralxp 4983 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. x  e.  _V  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4237, 41sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
43 df-ral 2679 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) ) )
44 relres 5141 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  (  _I  |`  A )
45 df-rel 4852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  (  _I  |`  A )  <-> 
(  _I  |`  A ) 
C_  ( _V  X.  _V ) )
4644, 45mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A )  C_  ( _V  X.  _V )
4746sseli 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)
4847ancri 536 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
) )
49 pm3.31 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
)  ->  y  e.  R ) )
5048, 49syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5150alimi 1565 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5243, 51sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5342, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5411, 53sylbir 205 . . . 4  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
55 dfss2 3305 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. y ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
5654, 55sylibr 204 . . 3  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (  _I  |`  A )  C_  R )
57 ssel 3310 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  x >.  e.  R ) )
5857alrimiv 1638 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
5956, 58impbii 181 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  (  _I  |`  A )  C_  R
)
601, 8, 593bitr2ri 266 1  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   <.cop 3785   class class class wbr 4180    _I cid 4461    X. cxp 4843    |` cres 4847   Rel wrel 4850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-res 4857
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