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Theorem issref 5056
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Distinct variable groups:    x, A    x, R

Proof of Theorem issref
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2548 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x R x  <->  A. x ( x  e.  A  ->  x R x ) )
2 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 opelresi 4967 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
42, 3ax-mp 8 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A )
5 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( x R x  <->  <. x ,  x >.  e.  R
)
65bicomi 193 . . . 4  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  <->  x R x )
74, 6imbi12i 316 . . 3  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  ( x  e.  A  ->  x R x ) )
87albii 1553 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x R x ) )
9 ralidm 3557 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
10 ralv 2801 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
119, 10bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
12 df-ral 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  A. x
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
13 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) ) )
14 opelresg 4962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
( <. x ,  z
>.  e.  _I  /\  x  e.  A ) ) )
15 df-br 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  <->  <. x ,  z >.  e.  _I  )
16 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
1716ideq 4836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  _I  z  <->  x  =  z )
18 opelresi 4967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  A  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  <-> 
x  e.  A ) )
19 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
20 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  z  ->  <. x ,  x >.  =  <. x ,  z >. )
2120eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( <. x ,  x >.  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
2221biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  R  ->  ( x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) )
2319, 22syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2418, 23syl6bir 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (
x  =  z  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) ) )
2524pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( x  =  z  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
2625com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2717, 26sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  _I  z  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R
) ) )
2815, 27sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  _I  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
2928imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  z >.  e.  _I  /\  x  e.  A )  ->  (
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) )
3014, 29syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( ( <.
x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  <. x ,  z >.  e.  R ) ) )
3130com3r 73 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  -> 
( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
3231ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3313, 32syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( x  e.  _V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) ) )
342, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  _V  ->  (
<. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3534sps 1739 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( x  e. 
_V  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3612, 35sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z
>.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
3736ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. x  e.  _V  A. z  e. 
_V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) )
38 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  <->  <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A ) ) )
39 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( y  e.  R  <->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4038, 39imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  z >.  e.  R ) ) )
4140ralxp 4827 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. x  e.  _V  A. z  e.  _V  ( <. x ,  z >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  z
>.  e.  R ) )
4237, 41sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
43 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  <->  A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) ) )
44 relres 4983 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  (  _I  |`  A )
45 df-rel 4696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  (  _I  |`  A )  <-> 
(  _I  |`  A ) 
C_  ( _V  X.  _V ) )
4644, 45mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A )  C_  ( _V  X.  _V )
4746sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  ( _V  X.  _V )
)
4847ancri 535 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
) )
49 pm3.31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( ( y  e.  ( _V  X.  _V )  /\  y  e.  (  _I  |`  A )
)  ->  y  e.  R ) )
5048, 49syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  (
y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )  -> 
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5150alimi 1546 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5243, 51sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( _V  X.  _V ) ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
)  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5342, 52syl 15 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  _V  A. x  e.  _V  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
5411, 53sylbir 204 . . . 4  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  A. y
( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R ) )
55 dfss2 3169 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. y ( y  e.  (  _I  |`  A )  ->  y  e.  R
) )
5654, 55sylibr 203 . . 3  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  ->  (  _I  |`  A )  C_  R )
57 ssel 3174 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  -> 
<. x ,  x >.  e.  R ) )
5857alrimiv 1617 . . 3  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  ->  A. x
( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R ) )
5956, 58impbii 180 . 2  |-  ( A. x ( <. x ,  x >.  e.  (  _I  |`  A )  ->  <. x ,  x >.  e.  R )  <->  (  _I  |`  A )  C_  R
)
601, 8, 593bitr2ri 265 1  |-  ( (  _I  |`  A )  C_  R  <->  A. x  e.  A  x R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687    |` cres 4691   Rel wrel 4694
This theorem is referenced by:  relrefcnv  25117  preodom2  25226
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-res 4701
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