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Theorem issrngd 15951
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
issrngd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
issrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
issrngd.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
issrngd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
issrngd.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
issrngd.dp  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
issrngd.dt  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
issrngd.id  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
Assertion
Ref Expression
issrngd  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2438 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
43, 2oppr1 15741 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
5 eqid 2438 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2438 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
7 issrngd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
83opprrng 15738 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  e. 
Ring )
101, 2rngidcl 15686 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
117, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
1312ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x ) )
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
1514eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
1716fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .*  `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
1816, 17fveq12d 5736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
1918eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x  <->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x ) )
2013, 15, 193imtr3d 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  =  x ) )
2120imp 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x )
2221eqcomd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )
2322ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
) )
24 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
25 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
2625fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2827rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  -> 
( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2911, 23, 28sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
3029oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
3231ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  x
)  e.  K ) )
3317, 14eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  e.  K  <->  ( ( * r `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3432, 15, 333imtr3d 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
) )
3534ralrimiv 2790 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
3625eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3736rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3811, 35, 37sylc 59 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
40393expib 1157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) ) ) )
4114eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  y  e.  ( Base `  R
) ) )
4215, 41anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) ) )
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
4443oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  R
) y ) )
4516, 44fveq12d 5736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
4616fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .*  `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
4743, 46, 17oveq123d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y ) 
.x.  (  .*  `  x ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
4940, 42, 483imtr3d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
5049ralrimivv 2799 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
51 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
5251fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) ) )
5325oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5452, 53eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
55 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
5655fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5857oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
6054, 59rspc2va 3061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )  ->  ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
6111, 38, 50, 60syl21anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6230, 61eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
631, 5, 2rnglidm 15689 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
647, 38, 63syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
6564fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6662, 64, 653eqtr3d 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
67 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( * r `  R )  =  ( * r `
 R )
68 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( * r f `  R
)  =  ( * r f `  R
)
691, 67, 68stafval 15938 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
7011, 69syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )
7166, 70, 293eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7249imp 420 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
731, 5, 3, 6opprmul 15733 . . . . 5  |-  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )
7472, 73syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) ) )
751, 5rngcl 15679 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
76753expb 1155 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( Base `  R ) )
777, 76sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
781, 67, 68stafval 15938 . . . . 5  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
7977, 78syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
801, 67, 68stafval 15938 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
811, 67, 68stafval 15938 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
8280, 81oveqan12d 6102 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8382adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8474, 79, 833eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
853, 1opprbas 15736 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
86 eqid 2438 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
873, 86oppradd 15737 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
8834imp 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
) )
891, 67, 68staffval 15937 . . . 4  |-  ( * r f `  R
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 x ) )
9088, 89fmptd 5895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
91 issrngd.dp . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
92913expib 1157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) ) ) )
93 issrngd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
9493oveqd 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
9516, 94fveq12d 5736 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
9693, 17, 46oveq123d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
9795, 96eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x ) 
.+  (  .*  `  y ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9892, 42, 973imtr3d 260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9998imp 420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
1001, 86rngacl 15693 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
1011003expb 1155 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
1027, 101sylan 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
1031, 67, 68stafval 15938 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
104102, 103syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
10580, 81oveqan12d 6102 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
106105adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
10799, 104, 1063eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `
 R ) `  x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 15832 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) ) )
1091, 67, 68staffval 15937 . . . . . . . 8  |-  ( * r f `  R
)  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) )
110109fmpt 5892 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( * r f `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
11190, 110sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  y )  e.  (
Base `  R )
)
112111r19.21bi 2806 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
) )
113 id 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
114 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
115114fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
116113, 115eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
117116rspccva 3053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
11823, 117sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
119118adantrl 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
120 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( ( * r `
 R ) `  x )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
121120eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( y  =  ( ( * r `  R ) `  x
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
122119, 121syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  ->  y  =  ( ( * r `  R
) `  x )
) )
12322adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
124 fveq2 5730 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) )
125124eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( x  =  ( ( * r `  R ) `  y
)  <->  x  =  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y  =  ( ( * r `  R
) `  x )  ->  x  =  ( ( * r `  R
) `  y )
) )
127122, 126impbid 185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  /\  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) ) )
129128simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
130129, 109syl6reqr 2489 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  =  `' ( * r f `  R ) )
1313, 68issrng 15940 . 2  |-  ( R  e.  *Ring 
<->  ( ( * r f `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) )  /\  (
* r f `  R )  =  `' ( * r f `
 R ) ) )
132108, 130, 131sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532   * rcstv 13533   Ringcrg 15662   1rcur 15664  opprcoppr 15729   RingHom crh 15819   * r fcstf 15933   *Ringcsr 15934
This theorem is referenced by:  cnsrng  16737  hlhilsrnglem  32816
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-rnghom 15821  df-staf 15935  df-srng 15936
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