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Theorem issrngd 15626
Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
issrngd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
issrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
issrngd.c  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
issrngd.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
issrngd.cl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
issrngd.dp  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
issrngd.dt  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
issrngd.id  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
Assertion
Ref Expression
issrngd  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Distinct variable groups:    x, y, K    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .* ( x, y)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  (oppr `  R
)  =  (oppr `  R
)
43, 2oppr1 15416 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  (oppr `  R
) )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
6 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  (oppr
`  R ) )  =  ( .r `  (oppr `  R ) )
7 issrngd.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
83opprrng 15413 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (oppr `  R
)  e.  Ring )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  (oppr
`  R )  e. 
Ring )
101, 2rngidcl 15361 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
117, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x )
1312ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x ) )
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  =  ( Base `  R ) )
1514eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .*  =  ( * r `  R ) )
1716fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .*  `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
1816, 17fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
1918eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  (  .*  `  x ) )  =  x  <->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x ) )
2013, 15, 193imtr3d 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  =  x ) )
2120imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  =  x )
2221eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )
2322ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
) )
24 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
2625fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
2724, 26eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  ( 1r `  R )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2827rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) x  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  x ) )  -> 
( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
2911, 23, 28sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
3029oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  (  .*  `  x )  e.  K )
3231ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  (  .*  `  x
)  e.  K ) )
3317, 14eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  e.  K  <->  ( ( * r `  R ) `  x
)  e.  ( Base `  R ) ) )
3432, 15, 333imtr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
Base `  R )  ->  ( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
) )
3534ralrimiv 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )
)
3625eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  x )  e.  (
Base `  R )  <->  ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3736rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) ) )
3811, 35, 37sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y
) )  =  ( (  .*  `  y
)  .x.  (  .*  `  x ) ) )
40393expib 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) ) ) )
4114eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  K  <->  y  e.  ( Base `  R
) ) )
4215, 41anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) ) )
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  R ) )
4443oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  R
) y ) )
4516, 44fveq12d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
4616fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  .*  `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
4743, 46, 17oveq123d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  y )  .x.  (  .*  `  x ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
4845, 47eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .x.  y ) )  =  ( (  .*  `  y ) 
.x.  (  .*  `  x ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
4940, 42, 483imtr3d 258 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  y )
( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 x ) ) ) )
5049ralrimivv 2634 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
51 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )
5251fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) ) )
5325oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5452, 53eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1r `  R )  ->  (
( ( * r `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
5655fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5857oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  -> 
( ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ) )
6054, 59rspc2va 2891 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( Base `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 y ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  x ) ) )  ->  ( ( * r `  R ) `
 ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) ( .r `  R
) ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) ) )
6111, 38, 50, 60syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6230, 61eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R ) ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
631, 5, 2rnglidm 15364 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
647, 38, 63syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) )
6564fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  ( 1r `  R ) ) ) )
6662, 64, 653eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  ( 1r `  R ) ) ) )
67 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( * r `  R )  =  ( * r `
 R )
68 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( * r f `  R
)  =  ( * r f `  R
)
691, 67, 68stafval 15613 . . . . 5  |-  ( ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
7011, 69syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( ( * r `
 R ) `  ( 1r `  R ) ) )
7166, 70, 293eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  R
) )
7249imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  y
) ( .r `  R ) ( ( * r `  R
) `  x )
) )
731, 5, 3, 6opprmul 15408 . . . . 5  |-  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  y ) ( .r
`  R ) ( ( * r `  R ) `  x
) )
7472, 73syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `  x
) ( .r `  (oppr `  R ) ) ( ( * r `  R ) `  y
) ) )
751, 5rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
76753expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( .r
`  R ) y )  e.  ( Base `  R ) )
777, 76sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
781, 67, 68stafval 15613 . . . . 5  |-  ( ( x ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( .r `  R
) y ) ) )
7977, 78syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
x ( .r `  R ) y ) ) )
801, 67, 68stafval 15613 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  x )
)
811, 67, 68stafval 15613 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  y
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
8280, 81oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8382adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) )  =  ( ( ( * r `
 R ) `  x ) ( .r
`  (oppr
`  R ) ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
8474, 79, 833eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `  R ) `
 x ) ( .r `  (oppr `  R
) ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
853, 1opprbas 15411 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (oppr
`  R ) )
86 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
873, 86oppradd 15412 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (oppr `  R
) )
8834imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  x )  e.  ( Base `  R
) )
891, 67, 68staffval 15612 . . . 4  |-  ( * r f `  R
)  =  ( x  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 x ) )
9088, 89fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
91 issrngd.dp . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K
)  ->  (  .*  `  ( x  .+  y
) )  =  ( (  .*  `  x
)  .+  (  .*  `  y ) ) )
92913expib 1154 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) ) ) )
93 issrngd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
9493oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  R
) y ) )
9516, 94fveq12d 5531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .*  `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
9693, 17, 46oveq123d 5879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  x )  .+  (  .*  `  y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
9795, 96eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  .*  `  ( x  .+  y ) )  =  ( (  .*  `  x ) 
.+  (  .*  `  y ) )  <->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9892, 42, 973imtr3d 258 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) ) )
9998imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
1001, 86rngacl 15368 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
1011003expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
1027, 101sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
1031, 67, 68stafval 15613 . . . . 5  |-  ( ( x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
* r f `  R ) `  (
x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( * r `  R ) `
 ( x ( +g  `  R ) y ) ) )
104102, 103syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( * r `  R
) `  ( x
( +g  `  R ) y ) ) )
10580, 81oveqan12d 5877 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
106105adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( ( * r f `  R ) `
 x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `
 y ) )  =  ( ( ( * r `  R
) `  x )
( +g  `  R ) ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
10799, 104, 1063eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( * r f `
 R ) `  ( x ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( ( * r f `
 R ) `  x ) ( +g  `  R ) ( ( * r f `  R ) `  y
) ) )
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 15507 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  e.  ( R RingHom  (oppr
`  R ) ) )
1091, 67, 68staffval 15612 . . . . . . . 8  |-  ( * r f `  R
)  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) )
110109fmpt 5681 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  ( Base `  R ) ( ( * r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( * r f `  R ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
) )
11190, 110sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  (
Base `  R )
( ( * r `
 R ) `  y )  e.  (
Base `  R )
)
112111r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
* r `  R
) `  y )  e.  ( Base `  R
) )
113 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
114 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  x
)  =  ( ( * r `  R
) `  y )
)
115114fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
116113, 115eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
117116rspccva 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  R )
x  =  ( ( * r `  R
) `  ( (
* r `  R
) `  x )
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
11823, 117sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  y  =  ( ( * r `
 R ) `  ( ( * r `
 R ) `  y ) ) )
119118adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
120 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( ( * r `
 R ) `  x )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) )
121120eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( * r `  R ) `
 y )  -> 
( y  =  ( ( * r `  R ) `  x
)  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  y
) ) ) )
122119, 121syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  ->  y  =  ( ( * r `  R
) `  x )
) )
12322adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  =  ( ( * r `  R ) `
 ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
124 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( ( * r `
 R ) `  y )  =  ( ( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) )
125124eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( * r `  R ) `
 x )  -> 
( x  =  ( ( * r `  R ) `  y
)  <->  x  =  (
( * r `  R ) `  (
( * r `  R ) `  x
) ) ) )
126123, 125syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y  =  ( ( * r `  R
) `  x )  ->  x  =  ( ( * r `  R
) `  y )
) )
127122, 126impbid 183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  =  ( ( * r `  R
) `  y )  <->  y  =  ( ( * r `  R ) `
 x ) ) )
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( * r f `  R ) : ( Base `  R
)
-1-1-onto-> ( Base `  R )  /\  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) ) )
129128simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  `' ( * r f `  R )  =  ( y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( * r `  R ) `
 y ) ) )
130129, 109syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ph  ->  ( * r f `
 R )  =  `' ( * r f `  R ) )
1313, 68issrng 15615 . 2  |-  ( R  e.  *Ring 
<->  ( ( * r f `  R )  e.  ( R RingHom  (oppr `  R
) )  /\  (
* r f `  R )  =  `' ( * r f `
 R ) ) )
132108, 130, 131sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  R  e.  *Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   * rcstv 13210   Ringcrg 15337   1rcur 15339  opprcoppr 15404   RingHom crh 15494   * r fcstf 15608   *Ringcsr 15609
This theorem is referenced by:  cnsrng  16408  hlhilsrnglem  32146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-ghm 14681  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-rnghom 15496  df-staf 15610  df-srng 15611
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