Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issrngd Structured version   Unicode version

Theorem issrngd 15951
 Description: Properties that determine a star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issrngd.k
issrngd.p
issrngd.t
issrngd.c
issrngd.r
issrngd.cl
issrngd.dp
issrngd.dt
issrngd.id
Assertion
Ref Expression
issrngd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem issrngd
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3
2 eqid 2438 . . 3
3 eqid 2438 . . . 4 oppr oppr
43, 2oppr1 15741 . . 3 oppr
5 eqid 2438 . . 3
6 eqid 2438 . . 3 oppr oppr
7 issrngd.r . . 3
83opprrng 15738 . . . 4 oppr
97, 8syl 16 . . 3 oppr
101, 2rngidcl 15686 . . . . . . . . 9
117, 10syl 16 . . . . . . . 8
12 issrngd.id . . . . . . . . . . . . 13
1312ex 425 . . . . . . . . . . . 12
14 issrngd.k . . . . . . . . . . . . 13
1514eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . 12
16 issrngd.c . . . . . . . . . . . . . 14
1716fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
1816, 17fveq12d 5736 . . . . . . . . . . . . 13
1918eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . 12
2013, 15, 193imtr3d 260 . . . . . . . . . . 11
2120imp 420 . . . . . . . . . 10
2221eqcomd 2443 . . . . . . . . 9
2322ralrimiva 2791 . . . . . . . 8
24 id 21 . . . . . . . . . 10
25 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
2625fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10
2724, 26eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9
2827rspcv 3050 . . . . . . . 8
2911, 23, 28sylc 59 . . . . . . 7
3029oveq1d 6098 . . . . . 6
31 issrngd.cl . . . . . . . . . . 11
3231ex 425 . . . . . . . . . 10
3317, 14eleq12d 2506 . . . . . . . . . 10
3432, 15, 333imtr3d 260 . . . . . . . . 9
3534ralrimiv 2790 . . . . . . . 8
3625eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
3736rspcv 3050 . . . . . . . 8
3811, 35, 37sylc 59 . . . . . . 7
39 issrngd.dt . . . . . . . . . 10
40393expib 1157 . . . . . . . . 9
4114eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10
4215, 41anbi12d 693 . . . . . . . . 9
43 issrngd.t . . . . . . . . . . . 12
4443oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11
4516, 44fveq12d 5736 . . . . . . . . . 10
4616fveq1d 5732 . . . . . . . . . . 11
4743, 46, 17oveq123d 6104 . . . . . . . . . 10
4845, 47eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9
4940, 42, 483imtr3d 260 . . . . . . . 8
5049ralrimivv 2799 . . . . . . 7
51 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
5251fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
5325oveq2d 6099 . . . . . . . . 9
5452, 53eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
55 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
5655fveq2d 5734 . . . . . . . . 9
57 fveq2 5730 . . . . . . . . . 10
5857oveq1d 6098 . . . . . . . . 9
5956, 58eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
6054, 59rspc2va 3061 . . . . . . 7
6111, 38, 50, 60syl21anc 1184 . . . . . 6
6230, 61eqtr4d 2473 . . . . 5
631, 5, 2rnglidm 15689 . . . . . 6
647, 38, 63syl2anc 644 . . . . 5
6564fveq2d 5734 . . . . 5
6662, 64, 653eqtr3d 2478 . . . 4
67 eqid 2438 . . . . . 6
68 eqid 2438 . . . . . 6
691, 67, 68stafval 15938 . . . . 5
7011, 69syl 16 . . . 4
7166, 70, 293eqtr4d 2480 . . 3
7249imp 420 . . . . 5
731, 5, 3, 6opprmul 15733 . . . . 5 oppr
7472, 73syl6eqr 2488 . . . 4 oppr
751, 5rngcl 15679 . . . . . . 7
76753expb 1155 . . . . . 6
777, 76sylan 459 . . . . 5
781, 67, 68stafval 15938 . . . . 5
7977, 78syl 16 . . . 4
801, 67, 68stafval 15938 . . . . . 6
811, 67, 68stafval 15938 . . . . . 6
8280, 81oveqan12d 6102 . . . . 5 oppr oppr
8382adantl 454 . . . 4 oppr oppr
8474, 79, 833eqtr4d 2480 . . 3 oppr
853, 1opprbas 15736 . . 3 oppr
86 eqid 2438 . . 3
873, 86oppradd 15737 . . 3 oppr
8834imp 420 . . . 4
891, 67, 68staffval 15937 . . . 4
9088, 89fmptd 5895 . . 3
91 issrngd.dp . . . . . . 7
92913expib 1157 . . . . . 6
93 issrngd.p . . . . . . . . 9
9493oveqd 6100 . . . . . . . 8
9516, 94fveq12d 5736 . . . . . . 7
9693, 17, 46oveq123d 6104 . . . . . . 7
9795, 96eqeq12d 2452 . . . . . 6
9892, 42, 973imtr3d 260 . . . . 5
9998imp 420 . . . 4
1001, 86rngacl 15693 . . . . . . 7
1011003expb 1155 . . . . . 6
1027, 101sylan 459 . . . . 5
1031, 67, 68stafval 15938 . . . . 5
104102, 103syl 16 . . . 4
10580, 81oveqan12d 6102 . . . . 5
106105adantl 454 . . . 4
10799, 104, 1063eqtr4d 2480 . . 3
1081, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 71, 84, 85, 86, 87, 90, 107isrhmd 15832 . 2 RingHom oppr
1091, 67, 68staffval 15937 . . . . . . . 8
110109fmpt 5892 . . . . . . 7
11190, 110sylibr 205 . . . . . 6
112111r19.21bi 2806 . . . . 5
113 id 21 . . . . . . . . . . 11
114 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
115114fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11
116113, 115eqeq12d 2452 . . . . . . . . . 10
117116rspccva 3053 . . . . . . . . 9
11823, 117sylan 459 . . . . . . . 8
119118adantrl 698 . . . . . . 7
120 fveq2 5730 . . . . . . . 8
121120eqeq2d 2449 . . . . . . 7
122119, 121syl5ibrcom 215 . . . . . 6
12322adantrr 699 . . . . . . 7
124 fveq2 5730 . . . . . . . 8
125124eqeq2d 2449 . . . . . . 7
126123, 125syl5ibrcom 215 . . . . . 6
127122, 126impbid 185 . . . . 5
12889, 88, 112, 127f1ocnv2d 6297 . . . 4
129128simprd 451 . . 3
130129, 109syl6reqr 2489 . 2
1313, 68issrng 15940 . 2 RingHom oppr
132108, 130, 131sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cmpt 4268  ccnv 4879  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  cmulr 13532  cstv 13533  crg 15662  cur 15664  opprcoppr 15729   RingHom crh 15819  cstf 15933  csr 15934 This theorem is referenced by:  cnsrng  16737  hlhilsrnglem  32816 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-ghm 15006  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-rnghom 15821  df-staf 15935  df-srng 15936
 Copyright terms: Public domain W3C validator