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Theorem isssc 13975
Description: Value of the subcategory subset relation when the arguments are known functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isssc.1  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
isssc.2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
isssc.3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isssc  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    T( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem isssc
Dummy variables  t 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brssc 13969 . . . 4  |-  ( H 
C_cat  J  <->  E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2 fndm 5503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( t  X.  t )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
32adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
4 isssc.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
54adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  J  Fn  ( T  X.  T
) )
6 fndm 5503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( T  X.  T )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
83, 7eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
98dmeqd 5031 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  ( t  X.  t
)  =  dom  ( T  X.  T ) )
10 dmxpid 5048 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
t  X.  t )  =  t
11 dmxpid 5048 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( T  X.  T )  =  T
129, 10, 113eqtr3g 2459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  t  =  T )
1312ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  ->  t  =  T ) )
14 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  t  =  T )
1514, 14xpeq12d 4862 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
1615fneq2d 5496 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( J  Fn  ( t  X.  t )  <->  J  Fn  ( T  X.  T
) ) )
174, 16syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  =  T  ->  J  Fn  (
t  X.  t ) ) )
1813, 17impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  <-> 
t  =  T ) )
1918anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Fn  ( t  X.  t
)  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
2019exbidv 1633 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
211, 20syl5bb 249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. t
( t  =  T  /\  E. s  e. 
~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
22 isssc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
23 pweq 3762 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ~P t  =  ~P T
)
2423rexeqdv 2871 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2524ceqsexgv 3028 . . . 4  |-  ( T  e.  V  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2622, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2721, 26bitrd 245 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
28 df-rex 2672 . . 3  |-  ( E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s
( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )
) )
29 3anass 940 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
30 elixp2 7025 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
31 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
3231, 31xpex 4949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  X.  s )  e. 
_V
33 fnex 5920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  ( s  X.  s
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
3432, 33mpan2 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  H  e.  _V )
3534adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  ->  H  e.  _V )
3635pm4.71ri 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  <-> 
( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  (
s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
3729, 30, 363bitr4i 269 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
38 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
40 isssc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  H  Fn  ( S  X.  S
) )
42 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( S  X.  S )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4439, 43eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
4544dmeqd 5031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  ( s  X.  s
)  =  dom  ( S  X.  S ) )
46 dmxpid 5048 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
s  X.  s )  =  s
47 dmxpid 5048 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  X.  S )  =  S
4845, 46, 473eqtr3g 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  s  =  S )
4948ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  ->  s  =  S ) )
50 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
5150, 50xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
5251fneq2d 5496 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( H  Fn  ( s  X.  s )  <->  H  Fn  ( S  X.  S
) ) )
5340, 52syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  =  S  ->  H  Fn  (
s  X.  s ) ) )
5449, 53impbid 184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  <-> 
s  =  S ) )
5554anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
5637, 55syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) )
5756anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  e.  ~P T  /\  (
s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
58 an12 773 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P T  /\  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) )
5957, 58syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) ) )
6059exbidv 1633 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
6128, 60syl5bb 249 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  E. s
( s  =  S  /\  ( s  e. 
~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) ) )
62 exsimpl 1599 . . . . 5  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  E. s 
s  =  S )
63 isset 2920 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  <->  E. s 
s  =  S )
6462, 63sylibr 204 . . . 4  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  S  e.  _V )
6564a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  S  e.  _V ) )
66 ssexg 4309 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  _V )
6766expcom 425 . . . . 5  |-  ( T  e.  V  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V ) )
6822, 67syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V )
)
6968adantrd 455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) )  ->  S  e.  _V ) )
7031elpw 3765 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P T  <->  s  C_  T )
71 sseq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  T  <->  S  C_  T
) )
7270, 71syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P T  <->  S 
C_  T ) )
7351raleqdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )
74 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
7574elpw 3765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z )  <->  ( H `  z )  C_  ( J `  z )
)
76 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
77 df-ov 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
7876, 77syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
79 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
)
80 df-ov 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x J y )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
8179, 80syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( x J y ) )
8278, 81sseq12d 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  C_  ( J `  z )  <-> 
( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8375, 82syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8483ralxp 4975 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) )
8573, 84syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x H y ) 
C_  ( x J y ) ) )
8672, 85anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8786ceqsexgv 3028 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8887a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) ) )
8965, 69, 88pm5.21ndd 344 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
9027, 61, 893bitrd 271 1  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   <.cop 3777   class class class wbr 4172    X. cxp 4835   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   X_cixp 7022    C_cat cssc 13962
This theorem is referenced by:  ssc1  13976  ssc2  13977  sscres  13978  ssctr  13980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-ixp 7023  df-ssc 13965
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