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Theorem isssc 13790
Description: Value of the subcategory subset relation when the arguments are known functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isssc.1  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
isssc.2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
isssc.3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isssc  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    T( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem isssc
Dummy variables  t 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brssc 13784 . . . 4  |-  ( H 
C_cat  J  <->  E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2 fndm 5422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( t  X.  t )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
32adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
4 isssc.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  J  Fn  ( T  X.  T
) )
6 fndm 5422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( T  X.  T )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
83, 7eqtr3d 2392 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
98dmeqd 4960 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  ( t  X.  t
)  =  dom  ( T  X.  T ) )
10 dmxpid 4977 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
t  X.  t )  =  t
11 dmxpid 4977 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( T  X.  T )  =  T
129, 10, 113eqtr3g 2413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  t  =  T )
1312ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  ->  t  =  T ) )
14 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  t  =  T )
1514, 14xpeq12d 4793 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
1615fneq2d 5415 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( J  Fn  ( t  X.  t )  <->  J  Fn  ( T  X.  T
) ) )
174, 16syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  =  T  ->  J  Fn  (
t  X.  t ) ) )
1813, 17impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  <-> 
t  =  T ) )
1918anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Fn  ( t  X.  t
)  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
2019exbidv 1626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
211, 20syl5bb 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. t
( t  =  T  /\  E. s  e. 
~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
22 isssc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
23 pweq 3704 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ~P t  =  ~P T
)
2423rexeqdv 2819 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2524ceqsexgv 2976 . . . 4  |-  ( T  e.  V  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2622, 25syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2721, 26bitrd 244 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
28 df-rex 2625 . . 3  |-  ( E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s
( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )
) )
29 elixp2 6905 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
30 3anass 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
3129, 30bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
32 vex 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
3332, 32xpex 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  X.  s )  e. 
_V
34 fnex 5824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  ( s  X.  s
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
3533, 34mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  H  e.  _V )
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  ->  H  e.  _V )
3736pm4.71ri 614 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  <-> 
( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  (
s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
3831, 37bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
39 fndm 5422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
41 isssc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  H  Fn  ( S  X.  S
) )
43 fndm 5422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( S  X.  S )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4540, 44eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
4645dmeqd 4960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  ( s  X.  s
)  =  dom  ( S  X.  S ) )
47 dmxpid 4977 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
s  X.  s )  =  s
48 dmxpid 4977 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  X.  S )  =  S
4946, 47, 483eqtr3g 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  s  =  S )
5049ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  ->  s  =  S ) )
51 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
5251, 51xpeq12d 4793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
5352fneq2d 5415 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( H  Fn  ( s  X.  s )  <->  H  Fn  ( S  X.  S
) ) )
5441, 53syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  =  S  ->  H  Fn  (
s  X.  s ) ) )
5550, 54impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  <-> 
s  =  S ) )
5655anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
5738, 56syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) )
5857anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  e.  ~P T  /\  (
s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
59 an12 772 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P T  /\  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) )
6058, 59syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) ) )
6160exbidv 1626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
6228, 61syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  E. s
( s  =  S  /\  ( s  e. 
~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) ) )
63 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  s  =  S )
6463eximi 1576 . . . . 5  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  E. s 
s  =  S )
65 isset 2868 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  <->  E. s 
s  =  S )
6664, 65sylibr 203 . . . 4  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  S  e.  _V )
6766a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  S  e.  _V ) )
68 ssexg 4239 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  _V )
6968expcom 424 . . . . 5  |-  ( T  e.  V  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V ) )
7022, 69syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V )
)
7170adantrd 454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) )  ->  S  e.  _V ) )
7232elpw 3707 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P T  <->  s  C_  T )
73 sseq1 3275 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  T  <->  S  C_  T
) )
7472, 73syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P T  <->  S 
C_  T ) )
7552raleqdv 2818 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )
76 fvex 5619 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
7776elpw 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z )  <->  ( H `  z )  C_  ( J `  z )
)
78 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
79 df-ov 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
8078, 79syl6eqr 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
81 fveq2 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
)
82 df-ov 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x J y )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
8381, 82syl6eqr 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( x J y ) )
8480, 83sseq12d 3283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  C_  ( J `  z )  <-> 
( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8577, 84syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8685ralxp 4906 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) )
8775, 86syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x H y ) 
C_  ( x J y ) ) )
8874, 87anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8988ceqsexgv 2976 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
9089a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) ) )
9167, 71, 90pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
9227, 62, 913bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   <.cop 3719   class class class wbr 4102    X. cxp 4766   dom cdm 4768    Fn wfn 5329   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   X_cixp 6902    C_cat cssc 13777
This theorem is referenced by:  ssc1  13791  ssc2  13792  sscres  13793  ssctr  13795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-ixp 6903  df-ssc 13780
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