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Theorem isssc 13697
Description: Value of the subcategory subset relation when the arguments are known functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isssc.1  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
isssc.2  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
isssc.3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
isssc  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, H    x, J, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    T( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem isssc
Dummy variables  t 
s  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brssc 13691 . . . 4  |-  ( H 
C_cat  J  <->  E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2 fndm 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( t  X.  t )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
32adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( t  X.  t ) )
4 isssc.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  J  Fn  ( T  X.  T
) )
6 fndm 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  Fn  ( T  X.  T )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  J  =  ( T  X.  T ) )
83, 7eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
98dmeqd 4881 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  dom  ( t  X.  t
)  =  dom  ( T  X.  T ) )
10 dmxpid 4898 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
t  X.  t )  =  t
11 dmxpid 4898 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( T  X.  T )  =  T
129, 10, 113eqtr3g 2338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  Fn  ( t  X.  t
) )  ->  t  =  T )
1312ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  ->  t  =  T ) )
14 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  T  ->  t  =  T )
1514, 14xpeq12d 4714 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  T  ->  (
t  X.  t )  =  ( T  X.  T ) )
1615fneq2d 5336 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  T  ->  ( J  Fn  ( t  X.  t )  <->  J  Fn  ( T  X.  T
) ) )
174, 16syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  =  T  ->  J  Fn  (
t  X.  t ) ) )
1813, 17impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  Fn  (
t  X.  t )  <-> 
t  =  T ) )
1918anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  Fn  ( t  X.  t
)  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
2019exbidv 1612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t ( J  Fn  ( t  X.  t )  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
211, 20syl5bb 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. t
( t  =  T  /\  E. s  e. 
~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) ) )
22 isssc.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
23 pweq 3628 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ~P t  =  ~P T
)
2423rexeqdv 2743 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2524ceqsexgv 2900 . . . 4  |-  ( T  e.  V  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
2622, 25syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. t ( t  =  T  /\  E. s  e.  ~P  t H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) ) )
2721, 26bitrd 244 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z ) ) )
28 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. s  e.  ~P  T H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z )  <->  E. s
( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )
) )
29 elixp2 6820 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
30 3anass 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  e.  _V  /\  H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
3129, 30bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) )
32 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
3332, 32xpex 4801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  X.  s )  e. 
_V
34 fnex 5741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  ( s  X.  s
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
3533, 34mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  H  e.  _V )
3635adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  ->  H  e.  _V )
3736pm4.71ri 614 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Fn  ( s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) )  <-> 
( H  e.  _V  /\  ( H  Fn  (
s  X.  s )  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
3831, 37bitr4i 243 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )
39 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( s  X.  s )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( s  X.  s ) )
41 isssc.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
4241adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  H  Fn  ( S  X.  S
) )
43 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H  Fn  ( S  X.  S )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  H  =  ( S  X.  S ) )
4540, 44eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
4645dmeqd 4881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  dom  ( s  X.  s
)  =  dom  ( S  X.  S ) )
47 dmxpid 4898 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
s  X.  s )  =  s
48 dmxpid 4898 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( S  X.  S )  =  S
4946, 47, 483eqtr3g 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  H  Fn  ( s  X.  s
) )  ->  s  =  S )
5049ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  ->  s  =  S ) )
51 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  s  =  S )
5251, 51xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
s  X.  s )  =  ( S  X.  S ) )
5352fneq2d 5336 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( H  Fn  ( s  X.  s )  <->  H  Fn  ( S  X.  S
) ) )
5441, 53syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  =  S  ->  H  Fn  (
s  X.  s ) ) )
5550, 54impbid 183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  (
s  X.  s )  <-> 
s  =  S ) )
5655anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( H  Fn  ( s  X.  s
)  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) ) )
5738, 56syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) )
5857anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  e.  ~P T  /\  (
s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
59 an12 772 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  ~P T  /\  ( s  =  S  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) )
6058, 59syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( s  e. 
~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s ) ~P ( J `  z ) )  <->  ( s  =  S  /\  (
s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )
) ) ) )
6160exbidv 1612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  e.  ~P T  /\  H  e.  X_ z  e.  ( s  X.  s
) ~P ( J `
 z ) )  <->  E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) ) ) )
6228, 61syl5bb 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
~P  T H  e.  X_ z  e.  (
s  X.  s ) ~P ( J `  z )  <->  E. s
( s  =  S  /\  ( s  e. 
~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z ) ) ) ) )
63 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  s  =  S )
6463eximi 1563 . . . . 5  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  E. s 
s  =  S )
65 isset 2792 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  <->  E. s 
s  =  S )
6664, 65sylibr 203 . . . 4  |-  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  ->  S  e.  _V )
6766a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  ->  S  e.  _V ) )
68 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  T  /\  T  e.  V )  ->  S  e.  _V )
6968expcom 424 . . . . 5  |-  ( T  e.  V  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V ) )
7022, 69syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  C_  T  ->  S  e.  _V )
)
7170adantrd 454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) )  ->  S  e.  _V ) )
7232elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  ~P T  <->  s  C_  T )
73 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s  C_  T  <->  S  C_  T
) )
7472, 73syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s  e.  ~P T  <->  S 
C_  T ) )
7552raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )
76 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
7776elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z )  <->  ( H `  z )  C_  ( J `  z )
)
78 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
79 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
8078, 79syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
81 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
)
82 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x J y )  =  ( J `  <. x ,  y >. )
8381, 82syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( J `  z )  =  ( x J y ) )
8480, 83sseq12d 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  C_  ( J `  z )  <-> 
( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8577, 84syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) )
8685ralxp 4827 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( S  X.  S ) ( H `
 z )  e. 
~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) )
8775, 86syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  (
s  X.  s ) ( H `  z
)  e.  ~P ( J `  z )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x H y ) 
C_  ( x J y ) ) )
8874, 87anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
8988ceqsexgv 2900 . . . 4  |-  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s ) ( H `  z )  e.  ~P ( J `
 z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  (
x J y ) ) ) )
9089a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  _V  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) ) )
9167, 71, 90pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s ( s  =  S  /\  ( s  e.  ~P T  /\  A. z  e.  ( s  X.  s
) ( H `  z )  e.  ~P ( J `  z ) ) )  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
9227, 62, 913bitrd 270 1  |-  ( ph  ->  ( H  C_cat  J  <->  ( S  C_  T  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x H y )  C_  ( x J y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817    C_cat cssc 13684
This theorem is referenced by:  ssc1  13698  ssc2  13699  sscres  13700  ssctr  13702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ixp 6818  df-ssc 13687
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