Theorem isssp 8317

Description: The predicate "is a subspace."

Hypotheses

Ref	Expression
isssp.g	|- G = (+v` U)
isssp.f	|- F = (+v` W)
isssp.s	|- S = (.s` U)
isssp.r	|- R = (.s` W)
isssp.n	|- N = (norm` U)
isssp.m	|- M = (norm` W)
isssp.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
isssp	|- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Proof of Theorem isssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isssp.g	. . . 4 |- G = (+v` U)
2		isssp.s	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		isssp.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
4		isssp.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	sspval 8316	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> H = {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)})
6	5	eleq2d 1533	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)}))
7		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (w = W -> (+v` w) = (+v` W))
8		isssp.f	. . . . . 6 |- F = (+v` W)
9	7, 8	syl6eqr 1517	. . . . 5 |- (w = W -> (+v` w) = F)
10	9	sseq1d 2078	. . . 4 |- (w = W -> ((+v` w) (_ G <-> F (_ G))
11		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (w = W -> (.s` w) = (.s` W))
12		isssp.r	. . . . . 6 |- R = (.s` W)
13	11, 12	syl6eqr 1517	. . . . 5 |- (w = W -> (.s` w) = R)
14	13	sseq1d 2078	. . . 4 |- (w = W -> ((.s` w) (_ S <-> R (_ S))
15		fveq2 3709	. . . . . 6 |- (w = W -> (norm` w) = (norm` W))
16		isssp.m	. . . . . 6 |- M = (norm` W)
17	15, 16	syl6eqr 1517	. . . . 5 |- (w = W -> (norm` w) = M)
18	17	sseq1d 2078	. . . 4 |- (w = W -> ((norm` w) (_ N <-> M (_ N))
19	10, 14, 18	3anbi123d 890	. . 3 |- (w = W -> (((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N) <-> (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
20	19	elrab 1896	. 2 |- (W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)} <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
21	6, 20	syl6bb 534	1 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640   (_ wss 2037  ` cfv 3172  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  .scns 8144  normcnm 8147  SubSpcss 8314

This theorem is referenced by:  sspid 8318  sspnv 8319  sspba 8320  sspg 8321  ssps 8323  sspn 8329  hhsst 9056

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-nv 8149  df-va 8152  df-sm 8154  df-nm 8157  df-ssp 8315

Copyright terms: Public domain