Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isstruct2 Unicode version

Theorem isstruct2 13406
 Description: The property of being a structure with components in . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isstruct2 Struct

Proof of Theorem isstruct2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brstruct 13405 . . 3 Struct
2 brrelex12 4856 . . 3 Struct Struct
31, 2mpan 652 . 2 Struct
4 ssun1 3454 . . . . 5
5 undif1 3647 . . . . 5
64, 5sseqtr4i 3325 . . . 4
7 simp2 958 . . . . . . 7
8 funfn 5423 . . . . . . 7
97, 8sylib 189 . . . . . 6
10 inss2 3506 . . . . . . . . . . . 12
1110sseli 3288 . . . . . . . . . . 11
12 1st2nd2 6326 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10
14133ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
1514fveq2d 5673 . . . . . . . 8
16 df-ov 6024 . . . . . . . . 9
17 fzfi 11239 . . . . . . . . 9
1816, 17eqeltrri 2459 . . . . . . . 8
1915, 18syl6eqel 2476 . . . . . . 7
20 difss 3418 . . . . . . . . 9
21 dmss 5010 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . 8
23 simp3 959 . . . . . . . 8
2422, 23syl5ss 3303 . . . . . . 7
25 ssfi 7266 . . . . . . 7
2619, 24, 25syl2anc 643 . . . . . 6
27 fnfi 7321 . . . . . 6
289, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5
29 p0ex 4328 . . . . 5
30 unexg 4651 . . . . 5
3128, 29, 30sylancl 644 . . . 4
32 ssexg 4291 . . . 4
336, 31, 32sylancr 645 . . 3
34 elex 2908 . . . 4
3633, 35jca 519 . 2
37 simpr 448 . . . . 5
3837eleq1d 2454 . . . 4
39 simpl 444 . . . . . 6
4039difeq1d 3408 . . . . 5
4140funeqd 5416 . . . 4
4239dmeqd 5013 . . . . 5
4337fveq2d 5673 . . . . 5
4442, 43sseq12d 3321 . . . 4
4538, 41, 443anbi123d 1254 . . 3
46 df-struct 13399 . . 3 Struct
4745, 46brabga 4411 . 2 Struct
483, 36, 47pm5.21nii 343 1 Struct
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717  cvv 2900   cdif 3261   cun 3262   cin 3263   wss 3264  c0 3572  csn 3758  cop 3761   class class class wbr 4154   cxp 4817   cdm 4819   wrel 4824   wfun 5389   wfn 5390  cfv 5395  (class class class)co 6021  c1st 6287  c2nd 6288  cfn 7046   cle 9055  cn 9933  cfz 10976   Struct cstr 13393 This theorem is referenced by:  isstruct  13407  structcnvcnv  13408  structfun  13409 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-struct 13399
 Copyright terms: Public domain W3C validator