Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isstruct2 Structured version   Unicode version

Theorem isstruct2 13470
 Description: The property of being a structure with components in . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isstruct2 Struct

Proof of Theorem isstruct2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brstruct 13469 . . 3 Struct
2 brrelex12 4907 . . 3 Struct Struct
31, 2mpan 652 . 2 Struct
4 ssun1 3502 . . . . 5
5 undif1 3695 . . . . 5
64, 5sseqtr4i 3373 . . . 4
7 simp2 958 . . . . . . 7
8 funfn 5474 . . . . . . 7
97, 8sylib 189 . . . . . 6
10 inss2 3554 . . . . . . . . . . . 12
1110sseli 3336 . . . . . . . . . . 11
12 1st2nd2 6378 . . . . . . . . . . 11
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10
14133ad2ant1 978 . . . . . . . . 9
1514fveq2d 5724 . . . . . . . 8
16 df-ov 6076 . . . . . . . . 9
17 fzfi 11303 . . . . . . . . 9
1816, 17eqeltrri 2506 . . . . . . . 8
1915, 18syl6eqel 2523 . . . . . . 7
20 difss 3466 . . . . . . . . 9
21 dmss 5061 . . . . . . . . 9
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . 8
23 simp3 959 . . . . . . . 8
2422, 23syl5ss 3351 . . . . . . 7
25 ssfi 7321 . . . . . . 7
2619, 24, 25syl2anc 643 . . . . . 6
27 fnfi 7376 . . . . . 6
289, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5
29 p0ex 4378 . . . . 5
30 unexg 4702 . . . . 5
3128, 29, 30sylancl 644 . . . 4
32 ssexg 4341 . . . 4
336, 31, 32sylancr 645 . . 3
34 elex 2956 . . . 4
3633, 35jca 519 . 2
37 simpr 448 . . . . 5
3837eleq1d 2501 . . . 4
39 simpl 444 . . . . . 6
4039difeq1d 3456 . . . . 5
4140funeqd 5467 . . . 4
4239dmeqd 5064 . . . . 5
4337fveq2d 5724 . . . . 5
4442, 43sseq12d 3369 . . . 4
4538, 41, 443anbi123d 1254 . . 3
46 df-struct 13463 . . 3 Struct
4745, 46brabga 4461 . 2 Struct
483, 36, 47pm5.21nii 343 1 Struct
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   cun 3310   cin 3311   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868   cdm 4870   wrel 4875   wfun 5440   wfn 5441  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1st 6339  c2nd 6340  cfn 7101   cle 9113  cn 9992  cfz 11035   Struct cstr 13457 This theorem is referenced by:  isstruct  13471  structcnvcnv  13472  structfun  13473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463
 Copyright terms: Public domain W3C validator