Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa Structured version   Unicode version

Theorem issubassa 16388
 Description: The subalgebras of an associative algebra are exactly the subrings (under the ring multiplication) that are simultaneously subspaces (under the scalar multiplication from the vector space). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa.s s
issubassa.l
issubassa.v
issubassa.o
Assertion
Ref Expression
issubassa AssAlg AssAlg SubRing

Proof of Theorem issubassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 961 . . . . . 6 AssAlg AssAlg AssAlg
2 assarng 16385 . . . . . 6 AssAlg
31, 2syl 16 . . . . 5 AssAlg AssAlg
4 issubassa.s . . . . . 6 s
5 assarng 16385 . . . . . . 7 AssAlg
65adantl 454 . . . . . 6 AssAlg AssAlg
74, 6syl5eqelr 2523 . . . . 5 AssAlg AssAlg s
83, 7jca 520 . . . 4 AssAlg AssAlg s
9 simpl3 963 . . . . 5 AssAlg AssAlg
10 simpl2 962 . . . . 5 AssAlg AssAlg
119, 10jca 520 . . . 4 AssAlg AssAlg
12 issubassa.v . . . . 5
13 issubassa.o . . . . 5
1412, 13issubrg 15873 . . . 4 SubRing s
158, 11, 14sylanbrc 647 . . 3 AssAlg AssAlg SubRing
16 assalmod 16384 . . . . 5 AssAlg
1716adantl 454 . . . 4 AssAlg AssAlg
18 assalmod 16384 . . . . 5 AssAlg
19 issubassa.l . . . . . 6
204, 12, 19islss3 16040 . . . . 5
211, 18, 203syl 19 . . . 4 AssAlg AssAlg
229, 17, 21mpbir2and 890 . . 3 AssAlg AssAlg
2315, 22jca 520 . 2 AssAlg AssAlg SubRing
2412subrgss 15874 . . . . . 6 SubRing
2524ad2antrl 710 . . . . 5 AssAlg SubRing
264, 12ressbas2 13525 . . . . 5
2725, 26syl 16 . . . 4 AssAlg SubRing
28 eqid 2438 . . . . . 6 Scalar Scalar
294, 28resssca 13609 . . . . 5 SubRing Scalar Scalar
3029ad2antrl 710 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar Scalar
31 eqidd 2439 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar Scalar
32 eqid 2438 . . . . . 6
334, 32ressvsca 13610 . . . . 5 SubRing
3433ad2antrl 710 . . . 4 AssAlg SubRing
35 eqid 2438 . . . . . 6
364, 35ressmulr 13587 . . . . 5 SubRing
3736ad2antrl 710 . . . 4 AssAlg SubRing
38 simpr 449 . . . . 5 SubRing
394, 19lsslmod 16041 . . . . 5
4018, 38, 39syl2an 465 . . . 4 AssAlg SubRing
414subrgrng 15876 . . . . 5 SubRing
4241ad2antrl 710 . . . 4 AssAlg SubRing
4328assasca 16386 . . . . 5 AssAlg Scalar
4443adantr 453 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar
45 simpll 732 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar AssAlg
46 simpr1 964 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar Scalar
4725adantr 453 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
48 simpr2 965 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
4947, 48sseldd 3351 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
50 simpr3 966 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
5147, 50sseldd 3351 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
52 eqid 2438 . . . . . 6 Scalar Scalar
5312, 28, 52, 32, 35assaass 16382 . . . . 5 AssAlg Scalar
5445, 46, 49, 51, 53syl13anc 1187 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar
5512, 28, 52, 32, 35assaassr 16383 . . . . 5 AssAlg Scalar
5645, 46, 49, 51, 55syl13anc 1187 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar
5727, 30, 31, 34, 37, 40, 42, 44, 54, 56isassad 16387 . . 3 AssAlg SubRing AssAlg
58573ad2antl1 1120 . 2 AssAlg SubRing AssAlg
5923, 58impbida 807 1 AssAlg AssAlg SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322  cfv 5457  (class class class)co 6084  cbs 13474   ↾s cress 13475  cmulr 13535  Scalarcsca 13537  cvsca 13538  crg 15665  ccrg 15666  cur 15667  SubRingcsubrg 15869  clmod 15955  clss 16013  AssAlgcasa 16374 This theorem is referenced by:  mplassa  16522  ply1assa  16602 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-assa 16377
 Copyright terms: Public domain W3C validator