Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubassa2 Structured version   Unicode version

Theorem issubassa2 16393
 Description: A subring of a unital algebra is a subspace and thus a subalgebra iff it contains all scalar multiples of the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubassa2.a algSc
issubassa2.l
Assertion
Ref Expression
issubassa2 AssAlg SubRing

Proof of Theorem issubassa2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubassa2.a . . . . 5 algSc
2 eqid 2435 . . . . 5
3 eqid 2435 . . . . 5
41, 2, 3rnascl 16391 . . . 4 AssAlg
54ad2antrr 707 . . 3 AssAlg SubRing
6 issubassa2.l . . . 4
7 assalmod 16369 . . . . 5 AssAlg
87ad2antrr 707 . . . 4 AssAlg SubRing
9 simpr 448 . . . 4 AssAlg SubRing
102subrg1cl 15866 . . . . 5 SubRing
1110ad2antlr 708 . . . 4 AssAlg SubRing
126, 3, 8, 9, 11lspsnel5a 16062 . . 3 AssAlg SubRing
135, 12eqsstrd 3374 . 2 AssAlg SubRing
14 subrgsubg 15864 . . . 4 SubRing SubGrp
1514ad2antlr 708 . . 3 AssAlg SubRing SubGrp
16 simplll 735 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar AssAlg
17 simprl 733 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar Scalar
18 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
1918subrgss 15859 . . . . . . . . 9 SubRing
2019ad2antlr 708 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing
2120sselda 3340 . . . . . . 7 AssAlg SubRing
2221adantrl 697 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
23 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
24 eqid 2435 . . . . . . 7 Scalar Scalar
25 eqid 2435 . . . . . . 7
26 eqid 2435 . . . . . . 7
271, 23, 24, 18, 25, 26asclmul1 16388 . . . . . 6 AssAlg Scalar
2816, 17, 22, 27syl3anc 1184 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
29 simpllr 736 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar SubRing
30 simplr 732 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing Scalar
311, 23, 24asclfn 16385 . . . . . . . . . 10 Scalar
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 AssAlg SubRing Scalar
33 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3432, 33sylan 458 . . . . . . . 8 AssAlg SubRing Scalar
3530, 34sseldd 3341 . . . . . . 7 AssAlg SubRing Scalar
3635adantrr 698 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
37 simprr 734 . . . . . 6 AssAlg SubRing Scalar
3825subrgmcl 15870 . . . . . 6 SubRing
3929, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . 5 AssAlg SubRing Scalar
4028, 39eqeltrrd 2510 . . . 4 AssAlg SubRing Scalar
4140ralrimivva 2790 . . 3 AssAlg SubRing Scalar
4223, 24, 18, 26, 6islss4 16028 . . . . 5 SubGrp Scalar
437, 42syl 16 . . . 4 AssAlg SubGrp Scalar
4443ad2antrr 707 . . 3 AssAlg SubRing SubGrp Scalar
4515, 41, 44mpbir2and 889 . 2 AssAlg SubRing
4613, 45impbida 806 1 AssAlg SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   wss 3312  csn 3806   crn 4871   wfn 5441  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13459  cmulr 13520  Scalarcsca 13522  cvsca 13523  SubGrpcsubg 14928  cur 15652  SubRingcsubrg 15854  clmod 15940  clss 15998  clspn 16037  AssAlgcasa 16359  algSccascl 16361 This theorem is referenced by:  aspval2  16395 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-assa 16362  df-ascl 16364
 Copyright terms: Public domain W3C validator