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Theorem issubc 13728
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
issubc.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
issubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc.s  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
Assertion
Ref Expression
issubc  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, C    f, J, g, x, y, z    S, f, g, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, f, g)    .x. ( x, y, z, f, g)    .1. ( x, y, z, f, g)    H( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem issubc
Dummy variables  c 
j  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubc.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2 issubc.s . 2  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
3 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  C  e.  Cat )
4 sscpwex 13708 . . . . . . . 8  |-  { j  |  j  C_cat  (  Homf  `  c ) }  e.  _V
5 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  ->  j  C_cat  (  Homf  `  c ) )
65ss2abi 3258 . . . . . . . 8  |-  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  C_  { j  |  j  C_cat  (  Homf  `  c
) }
74, 6ssexi 4175 . . . . . . 7  |-  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
87ax-gen 1536 . . . . . 6  |-  A. c { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
9 csbexg 3104 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  A. c { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )  ->  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )
103, 8, 9sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )
11 df-subc 13705 . . . . . 6  |- Subcat  =  ( c  e.  Cat  |->  { j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1211fvmpts 5619 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )  ->  (Subcat `  C )  =  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
133, 10, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  (Subcat `  C
)  =  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1413eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  J  e.  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
15 sbcel2g 3115 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
163, 15syl 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
17 elex 2809 . . . . . 6  |-  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V )
1817a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V ) )
19 sscrel 13706 . . . . . . . 8  |-  Rel  C_cat
2019brrelexi 4745 . . . . . . 7  |-  ( J 
C_cat  H  ->  J  e.  _V )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
2221a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
)
23 df-sbc 3005 . . . . . . 7  |-  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
24 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  J  e.  _V )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  j  =  J )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  c  =  C )
2726fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (  Homf  `  c )  =  (  Homf 
`  C ) )
28 issubc.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
2927, 28syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (  Homf  `  c )  =  H )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  (  Homf  `  c
)  =  H )
3125, 30breq12d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  <->  J  C_cat  H ) )
32 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
3332dmex 4957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  j  e.  _V
3433dmex 4957 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  dom  j  e.  _V
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  e.  _V )
3625dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  j  =  dom  J )
3736dmeqd 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  dom  dom  J )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  S  =  dom  dom  J )
3938ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  S  =  dom  dom  J )
4037, 39eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  S )
41 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
42 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  c  =  C )
4342fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  ( Id `  C
) )
44 issubc.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .1.  =  ( Id `  C )
4543, 44syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  .1.  )
4645fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( Id `  c
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
47 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  j  =  J )
4847oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j x )  =  ( x J x ) )
4946, 48eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( Id `  c ) `  x
)  e.  ( x j x )  <->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) ) )
5047oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j y )  =  ( x J y ) )
5147oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
y j z )  =  ( y J z ) )
5242fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  (comp `  C ) )
53 issubc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  (comp `  C )
5452, 53syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  .x.  )
5554oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  c )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5655oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  c ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) )
5747oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j z )  =  ( x J z ) )
5856, 57eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5951, 58raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. g  e.  (
y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6050, 59raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6141, 60raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6241, 61raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6349, 62anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6441, 63raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6535, 40, 64sbcied2 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6631, 65anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6766adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  J  e.  _V )  /\  j  =  J )  ->  (
( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6824, 67sbcied 3040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6923, 68syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  e. 
{ j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
7069ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) ) )
7118, 22, 70pm5.21ndd 343 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
723, 71sbcied 3040 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
7314, 16, 723bitr2d 272 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
741, 2, 73syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   [_csb 3094   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  compcco 13236   Catccat 13582   Idccid 13583    Homf chomf 13584    C_cat cssc 13700  Subcatcsubc 13702
This theorem is referenced by:  issubc2  13729  subcssc  13730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-ssc 13703  df-subc 13705
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