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Theorem issubc 14036
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
issubc.i  |-  .1.  =  ( Id `  C )
issubc.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
issubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
issubc.s  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
Assertion
Ref Expression
issubc  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, z, C    f, J, g, x, y, z    S, f, g, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, f, g)    .x. ( x, y, z, f, g)    .1. ( x, y, z, f, g)    H( x, y, z, f, g)

Proof of Theorem issubc
Dummy variables  c 
j  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubc.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
2 issubc.s . 2  |-  ( ph  ->  S  =  dom  dom  J )
3 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  C  e.  Cat )
4 sscpwex 14016 . . . . . . . 8  |-  { j  |  j  C_cat  (  Homf  `  c ) }  e.  _V
5 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  ->  j  C_cat  (  Homf  `  c ) )
65ss2abi 3416 . . . . . . . 8  |-  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  C_  { j  |  j  C_cat  (  Homf  `  c
) }
74, 6ssexi 4349 . . . . . . 7  |-  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
87ax-gen 1556 . . . . . 6  |-  A. c { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V
9 csbexg 3262 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  A. c { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )  ->  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )
103, 8, 9sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )
11 df-subc 14013 . . . . . 6  |- Subcat  =  ( c  e.  Cat  |->  { j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1211fvmpts 5808 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  e.  _V )  ->  (Subcat `  C )  =  [_ C  /  c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
133, 10, 12syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  (Subcat `  C
)  =  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
1413eleq2d 2504 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  J  e.  [_ C  / 
c ]_ { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
15 sbcel2g 3273 . . . 4  |-  ( C  e.  Cat  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
1615adantr 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  J  e.  [_ C  /  c ]_ {
j  |  ( j 
C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } ) )
17 elex 2965 . . . . . 6  |-  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  ->  J  e.  _V ) )
19 sscrel 14014 . . . . . . . 8  |-  Rel  C_cat
2019brrelexi 4919 . . . . . . 7  |-  ( J 
C_cat  H  ->  J  e.  _V )
2120adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) )  ->  J  e.  _V )
)
23 df-sbc 3163 . . . . . . 7  |-  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) } )
24 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  J  e.  _V )
25 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  j  =  J )
26 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  c  =  C )
2726fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (  Homf  `  c )  =  (  Homf 
`  C ) )
28 issubc.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
2927, 28syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  (  Homf  `  c )  =  H )
3029adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  (  Homf  `  c
)  =  H )
3125, 30breq12d 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  <->  J  C_cat  H ) )
32 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  j  e. 
_V
3332dmex 5133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  j  e.  _V
3433dmex 5133 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  dom  j  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  e.  _V )
3625dmeqd 5073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  j  =  dom  J )
3736dmeqd 5073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  dom  dom  J )
38 simpllr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  S  =  dom  dom  J )
3937, 38eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  dom  dom  j  =  S )
40 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  s  =  S )
41 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  c  =  C )
4241fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  ( Id `  C
) )
43 issubc.i . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .1.  =  ( Id `  C )
4442, 43syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( Id `  c )  =  .1.  )
4544fveq1d 5731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( Id `  c
) `  x )  =  (  .1.  `  x
) )
46 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  j  =  J )
4746oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j x )  =  ( x J x ) )
4845, 47eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( Id `  c ) `  x
)  e.  ( x j x )  <->  (  .1.  `  x )  e.  ( x J x ) ) )
4946oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j y )  =  ( x J y ) )
5046oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
y j z )  =  ( y J z ) )
5141fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  (comp `  C ) )
52 issubc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  (comp `  C )
5351, 52syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (comp `  c )  =  .x.  )
5453oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( <. x ,  y >.
(comp `  c )
z )  =  (
<. x ,  y >.  .x.  z ) )
5554oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  c ) z ) f )  =  ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f ) )
5646oveqd 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
x j z )  =  ( x J z ) )
5755, 56eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  ( g
( <. x ,  y
>.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5850, 57raleqbidv 2917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. g  e.  (
y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
5949, 58raleqbidv 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6040, 59raleqbidv 2917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6140, 60raleqbidv 2917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  (
x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z )  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) )
6248, 61anbi12d 693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  (
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6340, 62raleqbidv 2917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  j  =  J )  /\  s  =  S )  ->  ( A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6435, 39, 63sbcied2 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) )  <->  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) )
6531, 64anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  j  =  J
)  ->  ( (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6665adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C
)  /\  J  e.  _V )  /\  j  =  J )  ->  (
( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6724, 66sbcied 3198 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( [. J  /  j ]. (
j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) )  <-> 
( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x
)  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g ( <. x ,  y >.  .x.  z
) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6823, 67syl5bbr 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e. 
Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  /\  J  e.  _V )  ->  ( J  e. 
{ j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
6968ex 425 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  _V  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) ) )
7018, 22, 69pm5.21ndd 345 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J )  /\  c  =  C )  ->  ( J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf  `  c )  /\  [. dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s 
( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
713, 70sbcied 3198 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( [. C  /  c ]. J  e.  { j  |  ( j  C_cat  (  Homf 
`  c )  /\  [.
dom  dom  j  /  s ]. A. x  e.  s  ( ( ( Id
`  c ) `  x )  e.  ( x j x )  /\  A. y  e.  s  A. z  e.  s  A. f  e.  ( x j y ) A. g  e.  ( y j z ) ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  c )
z ) f )  e.  ( x j z ) ) ) }  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
7214, 16, 713bitr2d 274 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  S  =  dom  dom  J
)  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
731, 2, 72syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (Subcat `  C )  <->  ( J  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( (  .1.  `  x )  e.  ( x J x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x J y ) A. g  e.  ( y J z ) ( g (
<. x ,  y >.  .x.  z ) f )  e.  ( x J z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   A.wral 2706   _Vcvv 2957   [.wsbc 3162   [_csb 3252   <.cop 3818   class class class wbr 4213   dom cdm 4879   ` cfv 5455  (class class class)co 6082  compcco 13542   Catccat 13890   Idccid 13891    Homf chomf 13892    C_cat cssc 14008  Subcatcsubc 14010
This theorem is referenced by:  issubc2  14037  subcssc  14038
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-ssc 14011  df-subc 14013
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