Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubc3 Structured version   Unicode version

Theorem issubc3 14048
 Description: Alternate definition of a subcategory, as a subset of the category which is itself a category. The assumption that the identity be closed is necessary just as in the case of a monoid, issubm2 14751, for the same reasons, since categories are a generalization of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc3.h f
issubc3.i
issubc3.1 cat
issubc3.c
issubc3.a
Assertion
Ref Expression
issubc3 Subcat cat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem issubc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . 4 Subcat Subcat
2 issubc3.h . . . 4 f
31, 2subcssc 14039 . . 3 Subcat cat
41adantr 453 . . . . 5 Subcat Subcat
5 issubc3.a . . . . . 6
65ad2antrr 708 . . . . 5 Subcat
7 simpr 449 . . . . 5 Subcat
8 issubc3.i . . . . 5
94, 6, 7, 8subcidcl 14043 . . . 4 Subcat
109ralrimiva 2791 . . 3 Subcat
11 issubc3.1 . . . 4 cat
1211, 1subccat 14047 . . 3 Subcat
133, 10, 123jca 1135 . 2 Subcat cat
14 simpr1 964 . . 3 cat cat
15 simpr2 965 . . . 4 cat
16 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
17 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
18 eqid 2438 . . . . . . . . . 10 comp comp
19 simplrr 739 . . . . . . . . . 10 cat
20 simprl1 1003 . . . . . . . . . . 11 cat
21 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
22 issubc3.c . . . . . . . . . . . . 13
2322ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 cat
245ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 cat
252, 21homffn 13921 . . . . . . . . . . . . . 14
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 cat
27 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . 13 cat cat
2824, 26, 27ssc1 14023 . . . . . . . . . . . 12 cat
2911, 21, 23, 24, 28rescbas 14031 . . . . . . . . . . 11 cat
3020, 29eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 cat
31 simprl2 1004 . . . . . . . . . . 11 cat
3231, 29eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 cat
33 simprl3 1005 . . . . . . . . . . 11 cat
3433, 29eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 cat
35 simprrl 742 . . . . . . . . . . 11 cat
3611, 21, 23, 24, 28reschom 14032 . . . . . . . . . . . 12 cat
3736oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11 cat
3835, 37eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 cat
39 simprrr 743 . . . . . . . . . . 11 cat
4036oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11 cat
4139, 40eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10 cat
4216, 17, 18, 19, 30, 32, 34, 38, 41catcocl 13912 . . . . . . . . 9 cat comp
43 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 comp comp
4411, 21, 23, 24, 28, 43rescco 14034 . . . . . . . . . . 11 cat comp comp
4544oveqd 6100 . . . . . . . . . 10 cat comp comp
4645oveqd 6100 . . . . . . . . 9 cat comp comp
4736oveqd 6100 . . . . . . . . 9 cat
4842, 46, 473eltr4d 2519 . . . . . . . 8 cat comp
4948anassrs 631 . . . . . . 7 cat comp
5049ralrimivva 2800 . . . . . 6 cat comp
5150ralrimivvva 2801 . . . . 5 cat comp
52513adantr2 1118 . . . 4 cat comp
53 r19.26 2840 . . . 4 comp comp
5415, 52, 53sylanbrc 647 . . 3 cat comp
5522adantr 453 . . . 4 cat
565adantr 453 . . . 4 cat
572, 8, 43, 55, 56issubc2 14038 . . 3 cat Subcat cat comp
5814, 54, 57mpbir2and 890 . 2 cat Subcat
5913, 58impbida 807 1 Subcat cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cop 3819   class class class wbr 4214   cxp 4878   wfn 5451  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   chom 13542  compcco 13543  ccat 13891  ccid 13892   f chomf 13893   cat cssc 14009   cat cresc 14010  Subcatcsubc 14011 This theorem is referenced by:  subsubc  14052 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-hom 13555  df-cco 13556  df-cat 13895  df-cid 13896  df-homf 13897  df-ssc 14012  df-resc 14013  df-subc 14014
 Copyright terms: Public domain W3C validator