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Theorem issubg2 14636
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubg2.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, I, y    x,  .+ , y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14622 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
43subgbas 14625 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
53subggrp 14624 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
76grpbn0 14511 . . . . 5  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
94, 8eqnetrd 2464 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
10 issubg2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1110subgcl 14631 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
12113expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
1312ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
14 issubg2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
1514subginvcl 14630 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
1613, 15jca 518 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
1716ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
182, 9, 173jca 1132 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
19 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  C_  B
)
213, 1ressbas2 13199 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =  (
Base `  ( Gs  S
) ) )
23 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  e. 
_V
2422, 23syl6eqel 2371 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  _V )
253, 10ressplusg 13250 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
27 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
28 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
2928ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
3027, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .+  y )  =  ( u  .+  y ) )
3231eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  y )  e.  S
) )
33 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .+  y )  =  ( u  .+  v ) )
3433eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  v )  e.  S
) )
3532, 34rspc2v 2890 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( u  .+  v
)  e.  S ) )
3630, 35syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S ) )
37363impib 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3820sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  B ) )
3920sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( v  e.  S  ->  v  e.  B ) )
4020sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  B ) )
4138, 39, 403anim123d 1259 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
) )
4241imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
431, 10grpass 14496 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4443adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4542, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
46 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
47 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  S )
4846, 47sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  E. u  u  e.  S )
4920sselda 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  B )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
511, 10, 50, 14grplinv 14528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( I `  u )  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
5251adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
5349, 52syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
54 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
5554ralimi 2618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)
5627, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )
57 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
I `  x )  =  ( I `  u ) )
5857eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( I `  x
)  e.  S  <->  ( I `  u )  e.  S
) )
5958rspccva 2883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( I `  u
)  e.  S )
6056, 59sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( I `  u )  e.  S
)
61 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  S )
6230adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
63 proplem2 13591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I `  u )  e.  S  /\  u  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6553, 64eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
6665ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
6766exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
6848, 67mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
691, 10, 50grplid 14512 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
7069adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7149, 70syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7222, 26, 37, 45, 68, 71, 60, 53isgrpd 14507 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
731issubg 14621 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
7419, 20, 72, 73syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7574ex 423 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) ) )
7618, 75impbid2 195 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  issubg3  14637  issubg4  14638  subgint  14641  0subg  14642  cycsubgcl  14643  nmzsubg  14658  ghmrn  14696  ghmpreima  14704  gastacl  14763  torsubg  15146  oddvdssubg  15147  subrgugrp  15564  cntzsubr  15577  lsssubg  15714  issubgrpd2  15941  lidlsubg  15967  mplsubglem  16179  mplind  16243  cnsubglem  16420  cnmsubglem  16434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618
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