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Theorem issubg2 14652
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubg2.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, I, y    x,  .+ , y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14638 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
43subgbas 14641 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
53subggrp 14640 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
76grpbn0 14527 . . . . 5  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
85, 7syl 15 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
94, 8eqnetrd 2477 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
10 issubg2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1110subgcl 14647 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
12113expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
1312ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
14 issubg2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
1514subginvcl 14646 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
1613, 15jca 518 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
1716ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
182, 9, 173jca 1132 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
19 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  C_  B
)
213, 1ressbas2 13215 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =  (
Base `  ( Gs  S
) ) )
23 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  e. 
_V
2422, 23syl6eqel 2384 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  _V )
253, 10ressplusg 13266 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
27 simpr3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
28 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
2928ralimi 2631 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
3027, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
31 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .+  y )  =  ( u  .+  y ) )
3231eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  y )  e.  S
) )
33 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .+  y )  =  ( u  .+  v ) )
3433eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  v )  e.  S
) )
3532, 34rspc2v 2903 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( u  .+  v
)  e.  S ) )
3630, 35syl5com 26 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S ) )
37363impib 1149 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3820sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  B ) )
3920sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( v  e.  S  ->  v  e.  B ) )
4020sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  B ) )
4138, 39, 403anim123d 1259 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
) )
4241imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
431, 10grpass 14512 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4443adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4542, 44syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
46 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
47 n0 3477 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  S )
4846, 47sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  E. u  u  e.  S )
4920sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  B )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
511, 10, 50, 14grplinv 14544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( I `  u )  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
5251adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
5349, 52syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
54 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
5554ralimi 2631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)
5627, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )
57 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
I `  x )  =  ( I `  u ) )
5857eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  (
( I `  x
)  e.  S  <->  ( I `  u )  e.  S
) )
5958rspccva 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( I `  u
)  e.  S )
6056, 59sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( I `  u )  e.  S
)
61 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  S )
6230adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
63 proplem2 13607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( I `  u )  e.  S  /\  u  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6553, 64eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
6665ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
6766exlimdv 1626 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
6848, 67mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
691, 10, 50grplid 14528 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
7069adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7149, 70syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7222, 26, 37, 45, 68, 71, 60, 53isgrpd 14523 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
731issubg 14637 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
7419, 20, 72, 73syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7574ex 423 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) ) )
7618, 75impbid2 195 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631
This theorem is referenced by:  issubg3  14653  issubg4  14654  subgint  14657  0subg  14658  cycsubgcl  14659  nmzsubg  14674  ghmrn  14712  ghmpreima  14720  gastacl  14779  torsubg  15162  oddvdssubg  15163  subrgugrp  15580  cntzsubr  15593  lsssubg  15730  issubgrpd2  15957  lidlsubg  15983  mplsubglem  16195  mplind  16259  cnsubglem  16436  cnmsubglem  16450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634
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