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Theorem issubg2 14959
Description: Characterize the subgroups of a group by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg2.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubg2.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, I, y    x,  .+ , y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem issubg2
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14945 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Gs  S )  =  ( Gs  S )
43subgbas 14948 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S
) ) )
53subggrp 14947 . . . . 5  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Gs  S
)  e.  Grp )
6 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  =  ( Base `  ( Gs  S ) )
76grpbn0 14834 . . . . 5  |-  ( ( Gs  S )  e.  Grp  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( Base `  ( Gs  S ) )  =/=  (/) )
94, 8eqnetrd 2619 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
10 issubg2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
1110subgcl 14954 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
12113expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .+  y )  e.  S )
1312ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
14 issubg2.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
1514subginvcl 14953 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
1613, 15jca 519 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
1716ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
182, 9, 173jca 1134 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
19 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  G  e.  Grp )
20 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  C_  B
)
213, 1ressbas2 13520 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Gs  S ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =  (
Base `  ( Gs  S
) ) )
23 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( Gs  S ) )  e. 
_V
2422, 23syl6eqel 2524 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  _V )
253, 10ressplusg 13571 . . . . . 6  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  .+  =  ( +g  `  ( Gs  S ) ) )
27 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )
28 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
2928ralimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
3027, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
31 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
x  .+  y )  =  ( u  .+  y ) )
3231eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  y )  e.  S
) )
33 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
u  .+  y )  =  ( u  .+  v ) )
3433eleq1d 2502 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  .+  y
)  e.  S  <->  ( u  .+  v )  e.  S
) )
3532, 34rspc2v 3058 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  ->  ( u  .+  v
)  e.  S ) )
3630, 35syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S ) )
37363impib 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3820sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( u  e.  S  ->  u  e.  B ) )
3920sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( v  e.  S  ->  v  e.  B ) )
4020sseld 3347 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( w  e.  S  ->  w  e.  B ) )
4138, 39, 403anim123d 1261 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S )  ->  (
u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )
) )
4241imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
431, 10grpass 14819 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4443adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4542, 44syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
46 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  =/=  (/) )
47 n0 3637 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  S )
4846, 47sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  E. u  u  e.  S )
4920sselda 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  B )
50 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
511, 10, 50, 14grplinv 14851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( I `  u )  .+  u
)  =  ( 0g
`  G ) )
5251adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
5349, 52syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  =  ( 0g `  G ) )
54 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  (
I `  x )  e.  S )
5554ralimi 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)
5627, 55syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )
57 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  (
I `  x )  =  ( I `  u ) )
5857eleq1d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( I `  x
)  e.  S  <->  ( I `  u )  e.  S
) )
5958rspccva 3051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S  /\  u  e.  S )  ->  ( I `  u
)  e.  S )
6056, 59sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( I `  u )  e.  S
)
61 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  u  e.  S )
6230adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)
63 proplem2 13914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  u )  e.  S  /\  u  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6460, 61, 62, 63syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( (
I `  u )  .+  u )  e.  S
)
6553, 64eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
6648, 65exlimddv 1648 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
671, 10, 50grplid 14835 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u
)  =  u )
6867adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  B
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
6949, 68syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  /\  u  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .+  u )  =  u )
7022, 26, 37, 45, 66, 69, 60, 53isgrpd 14830 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  ( Gs  S )  e.  Grp )
711issubg 14944 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
7219, 20, 70, 71syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
7372ex 424 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) ) )
7418, 73impbid2 196 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686  SubGrpcsubg 14938
This theorem is referenced by:  issubg3  14960  issubg4  14961  subgint  14964  0subg  14965  cycsubgcl  14966  nmzsubg  14981  ghmrn  15019  ghmpreima  15027  gastacl  15086  torsubg  15469  oddvdssubg  15470  subrgugrp  15887  cntzsubr  15900  lsssubg  16033  issubgrpd2  16260  lidlsubg  16286  mplsubglem  16498  mplind  16562  cnsubglem  16747  cnmsubglem  16761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941
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