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Theorem issubg3 14637
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, S

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21subg0cl 14629 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
32a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
41subm0cl 14429 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
65a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
7 ne0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
97, 82thd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
11 r19.26 2675 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
1310, 123anbi23d 1255 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
14 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
15 df-3an 936 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
1615anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( (
( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) )
17 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) )
1913, 18syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
20 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
22 issubg3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
2320, 21, 22issubg2 14636 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
25 grpmnd 14494 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2620, 1, 21issubm 14425 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2827anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
3130ex 423 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( 0g `  G
)  e.  S  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 343 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubMndcsubmnd 14414  SubGrpcsubg 14615
This theorem is referenced by:  subgsubm  14639  subgacs  14652  ghmeql  14705  cntzsubg  14812  oppgsubg  14836  lsmsubg  14965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-subg 14618
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