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Theorem issubg3 14923
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, S

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21subg0cl 14915 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
32a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
41subm0cl 14715 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
54adantr 452 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
7 ne0i 3602 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
8 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
97, 82thd 232 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
109adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
11 r19.26 2806 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
1310, 123anbi23d 1257 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
14 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
15 df-3an 938 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
1615anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( (
( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) )
17 df-3an 938 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 270 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) )
1913, 18syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
20 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
22 issubg3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
2320, 21, 22issubg2 14922 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
25 grpmnd 14780 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2620, 1, 21issubm 14711 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2827anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
3130ex 424 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( 0g `  G
)  e.  S  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 344 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   0gc0g 13686   Mndcmnd 14647   Grpcgrp 14648   inv gcminusg 14649  SubMndcsubmnd 14700  SubGrpcsubg 14901
This theorem is referenced by:  subgsubm  14925  subgacs  14938  ghmeql  14991  cntzsubg  15098  oppgsubg  15122  lsmsubg  15251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-subg 14904
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