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Theorem issubg3 14736
Description: A subgroup is a symmetric submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg3.i  |-  I  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, I    x, S

Proof of Theorem issubg3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
21subg0cl 14728 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
32a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
41subm0cl 14528 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
65a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  S ) )
7 ne0i 3537 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
8 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( 0g `  G )  e.  S )
97, 82thd 231 . . . . . . 7  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
109adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  =/=  (/)  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
11 r19.26 2751 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
1310, 123anbi23d 1255 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
14 anass 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
15 df-3an 936 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  e.  S
) )
1615anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( (
( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) )
17 df-3an 936 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S
)  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) ) )
1814, 16, 173bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S
) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) )
1913, 18syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
20 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
21 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
22 issubg3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  G )
2320, 21, 22issubg2 14735 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
2423adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  S  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  S  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S  /\  (
I `  x )  e.  S ) ) ) )
25 grpmnd 14593 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
2620, 1, 21issubm 14524 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubMnd `  G
)  <->  ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S ) ) )
2827anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  ( Base `  G
)  /\  ( 0g `  G )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x )  e.  S ) ) )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( S  C_  ( Base `  G )  /\  ( 0g `  G
)  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  S )  /\  A. x  e.  S  (
I `  x )  e.  S ) ) )
3019, 24, 293bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 0g `  G )  e.  S )  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
3130ex 423 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( 0g `  G
)  e.  S  -> 
( S  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) ) )
323, 6, 31pm5.21ndd 343 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  e.  (SubMnd `  G )  /\  A. x  e.  S  ( I `  x
)  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   0gc0g 13499   Mndcmnd 14460   Grpcgrp 14461   inv gcminusg 14462  SubMndcsubmnd 14513  SubGrpcsubg 14714
This theorem is referenced by:  subgsubm  14738  subgacs  14751  ghmeql  14804  cntzsubg  14911  oppgsubg  14935  lsmsubg  15064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-subg 14717
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