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Theorem issubg4 14966
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg4.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .- , y    x, S, y

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14950 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
43subg0cl 14957 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
5 ne0i 3636 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
7 issubg4.p . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
87subgsubcl 14960 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .-  y )  e.  S )
983expb 1155 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .-  y )  e.  S
)
109ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
112, 6, 103jca 1135 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
) )
12 simplrl 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  C_  B
)
13 simplrr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  =/=  (/) )
14 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
15 r19.2z 3719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
1614, 15sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
17 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .-  y )  =  ( x  .-  x ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( x  .-  x )  e.  S
) )
1918rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x  .-  x )  e.  S ) )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( x 
.-  x )  e.  S ) )
21 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  B )
2221sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
231, 3, 7grpsubid 14878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .-  x
)  =  ( 0g
`  G ) )
2423adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2522, 24syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2625eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
x  .-  x )  e.  S  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
2720, 26sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  S ) )
2827rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g `  G
)  e.  S ) )
2928imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3016, 29syldan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
31 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
32 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .-  y ) )
3332eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3433ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3534rspcv 3050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3630, 31, 35sylc 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
)
371, 3grpidcl 14838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
3837ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
3921sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  y  e.  B )
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
421, 40, 41, 7grpsubval 14853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y
)  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
4338, 39, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
44 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  G  e.  Grp )
451, 41grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
4644, 39, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  B )
471, 40, 3grplid 14840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
4844, 46, 47syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
4943, 48eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S ) )
5150ralbidva 2723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( ( 0g
`  G )  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5251adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5336, 52mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )
54 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  ( ( inv g `  G
) `  z )
)
5554eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  <->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  S ) )
5655rspccva 3053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S )
5756ad2ant2l 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S )
58 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( x  .-  y
)  =  ( x 
.-  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
5958eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .-  y )  e.  S  <->  ( x  .-  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
6059rspcv 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
62 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
63 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
65 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6664, 65sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  B )
67 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
6864, 67sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  B )
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 14869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( x ( +g  `  G
) z ) )
7069eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7161, 70sylibd 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7271anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7372ralrimdva 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7473ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7574impancom 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
77 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
7877eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7978ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
8079cbvralv 2934 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. z  e.  S  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S )
8176, 80sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
82 r19.26 2840 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  <-> 
( A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
8381, 53, 82sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) )
8412, 13, 833jca 1135 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) ) )
8584exp42 596 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  C_  B  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( S 
C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) ) ) )
86853impd 1168 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) )
871, 40, 41issubg2 14964 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) ) ) )
8886, 87sylibrd 227 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
) )
8911, 88impbid2 197 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691   -gcsg 14693  SubGrpcsubg 14943
This theorem is referenced by:  dprdsubg  15587  clssubg  18143  tgpconcomp  18147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946
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