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Theorem issubg4 14954
Description: A subgroup is a nonempty subset of the group closed under subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubg4.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubg4.p  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
issubg4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x,  .- , y    x, S, y

Proof of Theorem issubg4
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubg4.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
21subgss 14938 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
43subg0cl 14945 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
5 ne0i 3627 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  =/=  (/) )
7 issubg4.p . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
87subgsubcl 14948 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  (
x  .-  y )  e.  S )
983expb 1154 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  S )
)  ->  ( x  .-  y )  e.  S
)
109ralrimivva 2791 . . 3  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
112, 6, 103jca 1134 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
) )
12 simplrl 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  C_  B
)
13 simplrr 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  S  =/=  (/) )
14 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
15 r19.2z 3710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
1614, 15sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
17 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .-  y )  =  ( x  .-  x ) )
1817eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( x  .-  x )  e.  S
) )
1918rspcv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x  .-  x )  e.  S ) )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( x 
.-  x )  e.  S ) )
21 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  B )
2221sselda 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  x  e.  B )
231, 3, 7grpsubid 14866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .-  x
)  =  ( 0g
`  G ) )
2423adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2522, 24syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( x  .-  x )  =  ( 0g `  G ) )
2625eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( (
x  .-  x )  e.  S  <->  ( 0g `  G )  e.  S
) )
2720, 26sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g
`  G )  e.  S ) )
2827rexlimdva 2823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( 0g `  G
)  e.  S ) )
2928imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
3016, 29syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  S
)
31 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)
32 oveq1 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  .-  y )  =  ( ( 0g
`  G )  .-  y ) )
3332eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
( x  .-  y
)  e.  S  <->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3433ralbidv 2718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3534rspcv 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0g `  G )  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
) )
3630, 31, 35sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( 0g `  G )  .-  y )  e.  S
)
371, 3grpidcl 14826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
3921sselda 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  y  e.  B )
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
41 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
421, 40, 41, 7grpsubval 14841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y
)  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
4338, 39, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) ) )
44 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  G  e.  Grp )
451, 41grpinvcl 14843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )
4644, 39, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  B )
471, 40, 3grplid 14828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  B )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
4844, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
4943, 48eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( 0g `  G )  .-  y )  =  ( ( inv g `  G ) `  y
) )
5049eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S ) )
5150ralbidva 2714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( ( 0g
`  G )  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5251adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( 0g `  G
)  .-  y )  e.  S  <->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
5336, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )
54 fveq2 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  =  ( ( inv g `  G
) `  z )
)
5554eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  <->  ( ( inv g `  G ) `
 z )  e.  S ) )
5655rspccva 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  /\  z  e.  S )  ->  ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S )
5756ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S )
58 oveq2 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( x  .-  y
)  =  ( x 
.-  ( ( inv g `  G ) `
 z ) ) )
5958eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( inv g `  G ) `
 z )  -> 
( ( x  .-  y )  e.  S  <->  ( x  .-  ( ( inv g `  G
) `  z )
)  e.  S ) )
6059rspcv 3041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  z
)  e.  S  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S
) )
62 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
63 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
65 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6664, 65sseldd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  ->  x  e.  B )
67 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  S )
6864, 67sseldd 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
z  e.  B )
691, 40, 7, 41, 62, 66, 68grpsubinv 14857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( x  .-  (
( inv g `  G ) `  z
) )  =  ( x ( +g  `  G
) z ) )
7069eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  z
) )  e.  S  <->  ( x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7161, 70sylibd 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  ( x  e.  S  /\  z  e.  S ) )  -> 
( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7271anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S ) )
7372ralrimdva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  /\  x  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7473ralimdva 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7574impancom 428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( A. y  e.  S  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S ) )
7653, 75mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. x  e.  S  A. z  e.  S  ( x
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
77 oveq1 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) z ) )
7877eleq1d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
7978ralbidv 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( x ( +g  `  G ) z )  e.  S  <->  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
) )
8079cbvralv 2925 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  A. z  e.  S  (
x ( +g  `  G
) z )  e.  S  <->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S )
8176, 80sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S
)
82 r19.26 2831 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S )  <-> 
( A. y  e.  S  A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  A. y  e.  S  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) )
8381, 53, 82sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) )
8412, 13, 833jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .-  y )  e.  S
)  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) ) )
8584exp42 595 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  C_  B  ->  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S  ->  ( S 
C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) ) ) )
86853impd 1167 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  S  /\  ( ( inv g `  G
) `  y )  e.  S ) ) ) )
871, 40, 41issubg2 14952 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. y  e.  S  ( A. z  e.  S  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  S  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  S ) ) ) )
8886, 87sylibrd 226 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
) )
8911, 88impbid2 196 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( S  C_  B  /\  S  =/=  (/)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .-  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   E.wrex 2699    C_ wss 3313   (/)c0 3621   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   Basecbs 13462   +g cplusg 13522   0gc0g 13716   Grpcgrp 14678   inv gcminusg 14679   -gcsg 14681  SubGrpcsubg 14931
This theorem is referenced by:  dprdsubg  15575  clssubg  18131  tgpconcomp  18135
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-mnd 14683  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-subg 14934
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