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Theorem issubgoi 20977
Description: Properties that determine a subgroup. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgoi.1  |-  G  e. 
GrpOp
issubgoi.2  |-  X  =  ran  G
issubgoi.3  |-  U  =  (GId `  G )
issubgoi.4  |-  N  =  ( inv `  G
)
issubgoi.5  |-  Y  C_  X
issubgoi.6  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
issubgoi.7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
issubgoi.8  |-  U  e.  Y
issubgoi.9  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
issubgoi  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Distinct variable groups:    x, H, y    y, N    x, U, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    N( x)    X( x, y)

Proof of Theorem issubgoi
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubgoi.1 . 2  |-  G  e. 
GrpOp
2 issubgoi.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
3 rnexg 4940 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
41, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  G  e.  _V
52, 4eqeltri 2353 . . . 4  |-  X  e. 
_V
6 issubgoi.5 . . . 4  |-  Y  C_  X
75, 6ssexi 4159 . . 3  |-  Y  e. 
_V
82grpofo 20866 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  G :
( X  X.  X
) -onto-> X )
9 fof 5451 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
101, 8, 9mp2b 9 . . . . . . 7  |-  G :
( X  X.  X
) --> X
11 xpss12 4792 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
126, 6, 11mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X
)
13 fssres 5408 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1410, 12, 13mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X
15 issubgoi.6 . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
1615feq1i 5383 . . . . . 6  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  <->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1714, 16mpbir 200 . . . . 5  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> X
18 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  H  Fn  ( Y  X.  Y
)
2015oveqi 5871 . . . . . . . 8  |-  ( a H b )  =  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )
21 ovres 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )  =  ( a G b ) )
2220, 21syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a H b )  =  ( a G b ) )
2322issubgoilem 20976 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  =  ( x G y ) )
24 issubgoi.7 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
2523, 24eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  e.  Y )
2625rgen2a 2609 . . . 4  |-  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y
27 ffnov 5948 . . . 4  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y ) )
2819, 26, 27mpbir2an 886 . . 3  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> Y
2923oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
30293adant3 975 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
3122issubgoilem 20976 . . . . . 6  |-  ( ( ( x H y )  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3225, 31sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  /\  z  e.  Y )  ->  (
( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
33323impa 1146 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3422issubgoilem 20976 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  =  ( y G z ) )
3534oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
36353adant1 973 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
3728fovcl 5949 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  e.  Y )
3822issubgoilem 20976 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y H z )  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
3937, 38sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y
) )  ->  (
x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
40393impb 1147 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
416sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Y  ->  x  e.  X )
426sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  ->  y  e.  X )
436sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Y  ->  z  e.  X )
442grpoass 20870 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
451, 44mpan 651 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4641, 42, 43, 45syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4736, 40, 463eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( ( x G y ) G z ) )
4830, 33, 473eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
49 issubgoi.8 . . 3  |-  U  e.  Y
5022issubgoilem 20976 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
5149, 50mpan 651 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
52 issubgoi.3 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  G )
532, 52grpolid 20886 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
541, 41, 53sylancr 644 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U G x )  =  x )
5551, 54eqtrd 2315 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  x )
56 issubgoi.9 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
5722issubgoilem 20976 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( N `  x ) H x )  =  ( ( N `  x ) G x ) )
5856, 57mpancom 650 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  ( ( N `
 x ) G x ) )
59 issubgoi.4 . . . . . 6  |-  N  =  ( inv `  G
)
602, 52, 59grpolinv 20895 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
611, 41, 60sylancr 644 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
6258, 61eqtrd 2315 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  U )
637, 28, 48, 49, 55, 56, 62isgrpoi 20865 . 2  |-  H  e. 
GrpOp
64 resss 4979 . . 3  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  G
6515, 64eqsstri 3208 . 2  |-  H  C_  G
66 issubgo 20970 . 2  |-  ( H  e.  ( SubGrpOp `  G
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  H  C_  G )
)
671, 63, 65, 66mpbir3an 1134 1  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853  GIdcgi 20854   invcgn 20855   SubGrpOpcsubgo 20968
This theorem is referenced by:  readdsubgo  21020  zaddsubgo  21021  hhssabloi  21839  ghomgrpilem2  23993
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-subgo 20969
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