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Theorem issubgoi 21747
Description: Properties that determine a subgroup. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgoi.1  |-  G  e. 
GrpOp
issubgoi.2  |-  X  =  ran  G
issubgoi.3  |-  U  =  (GId `  G )
issubgoi.4  |-  N  =  ( inv `  G
)
issubgoi.5  |-  Y  C_  X
issubgoi.6  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
issubgoi.7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
issubgoi.8  |-  U  e.  Y
issubgoi.9  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
issubgoi  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Distinct variable groups:    x, H, y    y, N    x, U, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    G( x, y)    N( x)    X( x, y)

Proof of Theorem issubgoi
Dummy variables  a 
b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubgoi.1 . 2  |-  G  e. 
GrpOp
2 issubgoi.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
3 rnexg 5072 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ran  G  e. 
_V )
41, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  G  e.  _V
52, 4eqeltri 2458 . . . 4  |-  X  e. 
_V
6 issubgoi.5 . . . 4  |-  Y  C_  X
75, 6ssexi 4290 . . 3  |-  Y  e. 
_V
82grpofo 21636 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  G :
( X  X.  X
) -onto-> X )
9 fof 5594 . . . . . . . 8  |-  ( G : ( X  X.  X ) -onto-> X  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
101, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7  |-  G :
( X  X.  X
) --> X
11 xpss12 4922 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  C_  X  /\  Y  C_  X )  -> 
( Y  X.  Y
)  C_  ( X  X.  X ) )
126, 6, 11mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X
)
13 fssres 5551 . . . . . . 7  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X ) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1410, 12, 13mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X
15 issubgoi.6 . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )
1615feq1i 5526 . . . . . 6  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  <->  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) : ( Y  X.  Y ) --> X )
1714, 16mpbir 201 . . . . 5  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> X
18 ffn 5532 . . . . 5  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> X  ->  H  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  H  Fn  ( Y  X.  Y
)
2015oveqi 6034 . . . . . . . 8  |-  ( a H b )  =  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )
21 ovres 6153 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) b )  =  ( a G b ) )
2220, 21syl5eq 2432 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  Y  /\  b  e.  Y )  ->  ( a H b )  =  ( a G b ) )
2322issubgoilem 21746 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  =  ( x G y ) )
24 issubgoi.7 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x G y )  e.  Y )
2523, 24eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x H y )  e.  Y )
2625rgen2a 2716 . . . 4  |-  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y
27 ffnov 6114 . . . 4  |-  ( H : ( Y  X.  Y ) --> Y  <->  ( H  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x H y )  e.  Y ) )
2819, 26, 27mpbir2an 887 . . 3  |-  H :
( Y  X.  Y
) --> Y
2923oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
30293adant3 977 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) G z )  =  ( ( x G y ) G z ) )
3122issubgoilem 21746 . . . . . 6  |-  ( ( ( x H y )  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3225, 31sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  /\  z  e.  Y )  ->  (
( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
33323impa 1148 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( ( x H y ) G z ) )
3422issubgoilem 21746 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  =  ( y G z ) )
3534oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
36353adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x G ( y H z ) )  =  ( x G ( y G z ) ) )
3728fovcl 6115 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( y H z )  e.  Y )
3822issubgoilem 21746 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y H z )  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
3937, 38sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Y
) )  ->  (
x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
40393impb 1149 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( x G ( y H z ) ) )
416sseli 3288 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Y  ->  x  e.  X )
426sseli 3288 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  ->  y  e.  X )
436sseli 3288 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Y  ->  z  e.  X )
442grpoass 21640 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
451, 44mpan 652 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4641, 42, 43, 45syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
4736, 40, 463eqtr4d 2430 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( x H ( y H z ) )  =  ( ( x G y ) G z ) )
4830, 33, 473eqtr4d 2430 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) )
49 issubgoi.8 . . 3  |-  U  e.  Y
5022issubgoilem 21746 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
5149, 50mpan 652 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  ( U G x ) )
52 issubgoi.3 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  G )
532, 52grpolid 21656 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  ( U G x )  =  x )
541, 41, 53sylancr 645 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U G x )  =  x )
5551, 54eqtrd 2420 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( U H x )  =  x )
56 issubgoi.9 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  ( N `  x )  e.  Y )
5722issubgoilem 21746 . . . . 5  |-  ( ( ( N `  x
)  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( N `  x ) H x )  =  ( ( N `  x ) G x ) )
5856, 57mpancom 651 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  ( ( N `
 x ) G x ) )
59 issubgoi.4 . . . . . 6  |-  N  =  ( inv `  G
)
602, 52, 59grpolinv 21665 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
611, 41, 60sylancr 645 . . . 4  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) G x )  =  U )
6258, 61eqtrd 2420 . . 3  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( N `  x
) H x )  =  U )
637, 28, 48, 49, 55, 56, 62isgrpoi 21635 . 2  |-  H  e. 
GrpOp
64 resss 5111 . . 3  |-  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  G
6515, 64eqsstri 3322 . 2  |-  H  C_  G
66 issubgo 21740 . 2  |-  ( H  e.  ( SubGrpOp `  G
)  <->  ( G  e. 
GrpOp  /\  H  e.  GrpOp  /\  H  C_  G )
)
671, 63, 65, 66mpbir3an 1136 1  |-  H  e.  ( SubGrpOp `  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900    C_ wss 3264    X. cxp 4817   ran crn 4820    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   -onto->wfo 5393   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   GrpOpcgr 21623  GIdcgi 21624   invcgn 21625   SubGrpOpcsubgo 21738
This theorem is referenced by:  readdsubgo  21790  zaddsubgo  21791  hhssabloi  22611  ghomgrpilem2  24877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-riota 6486  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-subgo 21739
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