Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubgoi Structured version   Unicode version

Theorem issubgoi 21890
 Description: Properties that determine a subgroup. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgoi.1
issubgoi.2
issubgoi.3 GId
issubgoi.4
issubgoi.5
issubgoi.6
issubgoi.7
issubgoi.8
issubgoi.9
Assertion
Ref Expression
issubgoi
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem issubgoi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubgoi.1 . 2
2 issubgoi.2 . . . . 5
3 rnexg 5123 . . . . . 6
41, 3ax-mp 8 . . . . 5
52, 4eqeltri 2505 . . . 4
6 issubgoi.5 . . . 4
75, 6ssexi 4340 . . 3
82grpofo 21779 . . . . . . . 8
9 fof 5645 . . . . . . . 8
101, 8, 9mp2b 10 . . . . . . 7
11 xpss12 4973 . . . . . . . 8
126, 6, 11mp2an 654 . . . . . . 7
13 fssres 5602 . . . . . . 7
1410, 12, 13mp2an 654 . . . . . 6
15 issubgoi.6 . . . . . . 7
1615feq1i 5577 . . . . . 6
1714, 16mpbir 201 . . . . 5
18 ffn 5583 . . . . 5
1917, 18ax-mp 8 . . . 4
2015oveqi 6086 . . . . . . . 8
21 ovres 6205 . . . . . . . 8
2220, 21syl5eq 2479 . . . . . . 7
2322issubgoilem 21889 . . . . . 6
24 issubgoi.7 . . . . . 6
2523, 24eqeltrd 2509 . . . . 5
2625rgen2a 2764 . . . 4
27 ffnov 6166 . . . 4
2819, 26, 27mpbir2an 887 . . 3
2923oveq1d 6088 . . . . 5
30293adant3 977 . . . 4
3122issubgoilem 21889 . . . . . 6
3225, 31sylan 458 . . . . 5
33323impa 1148 . . . 4
3422issubgoilem 21889 . . . . . . 7
3534oveq2d 6089 . . . . . 6
36353adant1 975 . . . . 5
3728fovcl 6167 . . . . . . 7
3822issubgoilem 21889 . . . . . . 7
3937, 38sylan2 461 . . . . . 6
40393impb 1149 . . . . 5
416sseli 3336 . . . . . 6
426sseli 3336 . . . . . 6
436sseli 3336 . . . . . 6
442grpoass 21783 . . . . . . 7
451, 44mpan 652 . . . . . 6
4641, 42, 43, 45syl3an 1226 . . . . 5
4736, 40, 463eqtr4d 2477 . . . 4
4830, 33, 473eqtr4d 2477 . . 3
49 issubgoi.8 . . 3
5022issubgoilem 21889 . . . . 5
5149, 50mpan 652 . . . 4
52 issubgoi.3 . . . . . 6 GId
532, 52grpolid 21799 . . . . 5
541, 41, 53sylancr 645 . . . 4
5551, 54eqtrd 2467 . . 3
56 issubgoi.9 . . 3
5722issubgoilem 21889 . . . . 5
5856, 57mpancom 651 . . . 4
59 issubgoi.4 . . . . . 6
602, 52, 59grpolinv 21808 . . . . 5
611, 41, 60sylancr 645 . . . 4
6258, 61eqtrd 2467 . . 3
637, 28, 48, 49, 55, 56, 62isgrpoi 21778 . 2
64 resss 5162 . . 3
6515, 64eqsstri 3370 . 2
66 issubgo 21883 . 2
671, 63, 65, 66mpbir3an 1136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   wss 3312   cxp 4868   crn 4871   cres 4872   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  cfv 5446  (class class class)co 6073  cgr 21766  GIdcgi 21767  cgn 21768  csubgo 21881 This theorem is referenced by:  readdsubgo  21933  zaddsubgo  21934  hhssabloi  22754  ghomgrpilem2  25089 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-riota 6541  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-subgo 21882
 Copyright terms: Public domain W3C validator