MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubgrpd2 Unicode version

Theorem issubgrpd2 16034
Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
issubgrpd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
issubgrpd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
issubgrpd.ss  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
issubgrpd.zcl  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
issubgrpd.acl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
issubgrpd.ncl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
issubgrpd.g  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
issubgrpd2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .0.    x, D, y    x, I, y    x,  .+ , y    ph, x, y    x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2
StepHypRef Expression
1 issubgrpd.ss . 2  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
2 issubgrpd.zcl . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
3 ne0i 3537 . . 3  |-  (  .0. 
e.  D  ->  D  =/=  (/) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
5 issubgrpd.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
65oveqd 5959 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  I
) y ) )
76ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x ( +g  `  I ) y ) )
8 issubgrpd.acl . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
983expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  .+  y )  e.  D )
107, 9eqeltrrd 2433 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x ( +g  `  I
) y )  e.  D )
1110ralrimiva 2702 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A. y  e.  D  ( x
( +g  `  I ) y )  e.  D
)
12 issubgrpd.ncl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
1311, 12jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) )
1413ralrimiva 2702 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) )
15 issubgrpd.g . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
16 eqid 2358 . . . 4  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
17 eqid 2358 . . . 4  |-  ( +g  `  I )  =  ( +g  `  I )
18 eqid 2358 . . . 4  |-  ( inv g `  I )  =  ( inv g `  I )
1916, 17, 18issubg2 14729 . . 3  |-  ( I  e.  Grp  ->  ( D  e.  (SubGrp `  I
)  <->  ( D  C_  ( Base `  I )  /\  D  =/=  (/)  /\  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) ) ) )
2015, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  <->  ( D  C_  ( Base `  I
)  /\  D  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) ) ) )
211, 4, 14, 20mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   ↾s cress 13240   +g cplusg 13299   0gc0g 13493   Grpcgrp 14455   inv gcminusg 14456  SubGrpcsubg 14708
This theorem is referenced by:  issubgrpd  16035  issubrngd2  16036  dsmmsubg  26532  symgsssg  26731  symgfisg  26732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-subg 14711
  Copyright terms: Public domain W3C validator