MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubgrpd2 Structured version   Unicode version

Theorem issubgrpd2 16265
Description: Prove a subgroup by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
issubgrpd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
issubgrpd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
issubgrpd.ss  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
issubgrpd.zcl  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
issubgrpd.acl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
issubgrpd.ncl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
issubgrpd.g  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
Assertion
Ref Expression
issubgrpd2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .0.    x, D, y    x, I, y    x,  .+ , y    ph, x, y    x, S, y

Proof of Theorem issubgrpd2
StepHypRef Expression
1 issubgrpd.ss . 2  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
2 issubgrpd.zcl . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
3 ne0i 3636 . . 3  |-  (  .0. 
e.  D  ->  D  =/=  (/) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
5 issubgrpd.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
65oveqd 6101 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  I
) y ) )
76ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x ( +g  `  I ) y ) )
8 issubgrpd.acl . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
983expa 1154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  .+  y )  e.  D )
107, 9eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  D )  /\  y  e.  D )  ->  (
x ( +g  `  I
) y )  e.  D )
1110ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A. y  e.  D  ( x
( +g  `  I ) y )  e.  D
)
12 issubgrpd.ncl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
1311, 12jca 520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) )
1413ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) )
15 issubgrpd.g . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
16 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
17 eqid 2438 . . . 4  |-  ( +g  `  I )  =  ( +g  `  I )
18 eqid 2438 . . . 4  |-  ( inv g `  I )  =  ( inv g `  I )
1916, 17, 18issubg2 14964 . . 3  |-  ( I  e.  Grp  ->  ( D  e.  (SubGrp `  I
)  <->  ( D  C_  ( Base `  I )  /\  D  =/=  (/)  /\  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) ) ) )
2015, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  <->  ( D  C_  ( Base `  I
)  /\  D  =/=  (/) 
/\  A. x  e.  D  ( A. y  e.  D  ( x ( +g  `  I ) y )  e.  D  /\  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D ) ) ) )
211, 4, 14, 20mpbir3and 1138 1  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691  SubGrpcsubg 14943
This theorem is referenced by:  issubgrpd  16266  issubrngd2  16267  dsmmsubg  27200  symgsssg  27399  symgfisg  27400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946
  Copyright terms: Public domain W3C validator