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Theorem issubm 14750
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
issubm  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .+ ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
21pweqd 3806 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  M
) )
3 fveq2 5730 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( 0g `  m )  =  ( 0g `  M
) )
43eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( 0g `  m
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  t ) )
5 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
65oveqd 6100 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( +g  `  m
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
76eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
872ralbidv 2749 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
94, 8anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) ) )
102, 9rabeqbidv 2953 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  m
) y )  e.  t ) }  =  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
11 df-submnd 14741 . . . 4  |- SubMnd  =  ( m  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t ) } )
12 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1312pwex 4384 . . . . 5  |-  ~P ( Base `  M )  e. 
_V
1413rabex 4356 . . . 4  |-  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  e.  _V
1510, 11, 14fvmpt 5808 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  =  {
t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
1615eleq2d 2505 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  S  e.  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) } ) )
17 eleq2 2499 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( 0g `  M
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  S
) )
18 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  (
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
1918raleqbi1dv 2914 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2019raleqbi1dv 2914 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2117, 20anbi12d 693 . . . 4  |-  ( t  =  S  ->  (
( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
2221elrab 3094 . . 3  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
23 issubm.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423sseq2i 3375 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
25 issubm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
2625eleq1i 2501 . . . . . 6  |-  (  .0. 
e.  S  <->  ( 0g `  M )  e.  S
)
27 issubm.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2827oveqi 6096 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.+  y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )
2928eleq1i 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)
30292ralbii 2733 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S )
3126, 30anbi12i 680 . . . . 5  |-  ( (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
3224, 31anbi12i 680 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
33 3anass 941 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  (  .0. 
e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) ) )
3412elpw2 4366 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
3534anbi1i 678 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
3632, 33, 353bitr4ri 271 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )
3722, 36bitri 242 . 2  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
3816, 37syl6bb 254 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686  SubMndcsubmnd 14739
This theorem is referenced by:  issubm2  14751  submcl  14755  mhmima  14765  mhmeql  14766  submacs  14767  gsumwspan  14793  frmdsssubm  14808  issubg3  14962  cntzsubm  15136  oppgsubm  15160  lsmsubm  15289  issubrg3  15898  xrge0subm  16741  cnsubmlem  16748  iistmd  24302  issubmd  27362  isdomn3  27502  mon1psubm  27504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-submnd 14741
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