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Theorem issubm 14441
Description: Expand definition of a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
issubm  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    .+ ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem issubm
Dummy variables  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( Base `  m )  =  ( Base `  M
) )
21pweqd 3643 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ~P ( Base `  m )  =  ~P ( Base `  M
) )
3 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( 0g `  m )  =  ( 0g `  M
) )
43eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( 0g `  m
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  t ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  ( +g  `  m )  =  ( +g  `  M
) )
65oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x ( +g  `  m
) y )  =  ( x ( +g  `  M ) y ) )
76eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
872ralbidv 2598 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  m ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) )
94, 8anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) ) )
102, 9rabeqbidv 2796 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  m
) y )  e.  t ) }  =  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g
`  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
11 df-submnd 14432 . . . 4  |- SubMnd  =  ( m  e.  Mnd  |->  { t  e.  ~P ( Base `  m )  |  ( ( 0g `  m )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  m ) y )  e.  t ) } )
12 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  e.  _V
1312pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P ( Base `  M )  e. 
_V
1413rabex 4181 . . . 4  |-  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  e.  _V
1510, 11, 14fvmpt 5618 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  M )  =  {
t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t ) } )
1615eleq2d 2363 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  S  e.  { t  e.  ~P ( Base `  M )  |  ( ( 0g `  M
)  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) } ) )
17 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  (
( 0g `  M
)  e.  t  <->  ( 0g `  M )  e.  S
) )
18 eleq2 2357 . . . . . . 7  |-  ( t  =  S  ->  (
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
1918raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( t  =  S  ->  ( A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2019raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( t  =  S  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  t  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
2117, 20anbi12d 691 . . . 4  |-  ( t  =  S  ->  (
( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  t )  <->  ( ( 0g
`  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
2221elrab 2936 . . 3  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
23 issubm.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423sseq2i 3216 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
25 issubm.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
2625eleq1i 2359 . . . . . 6  |-  (  .0. 
e.  S  <->  ( 0g `  M )  e.  S
)
27 issubm.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  M )
2827oveqi 5887 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.+  y )  =  ( x ( +g  `  M ) y )
2928eleq1i 2359 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .+  y )  e.  S  <->  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)
30292ralbii 2582 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S )
3126, 30anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
3224, 31anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  (  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) ) )
33 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  (  .0. 
e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) ) )
3412elpw2 4191 . . . . 5  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) )
3534anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
3632, 33, 353bitr4ri 269 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( ( 0g `  M )  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) )  <-> 
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S ) )
3722, 36bitri 240 . 2  |-  ( S  e.  { t  e. 
~P ( Base `  M
)  |  ( ( 0g `  M )  e.  t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  t ) }  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
3816, 37syl6bb 252 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430
This theorem is referenced by:  issubm2  14442  submcl  14446  mhmima  14456  mhmeql  14457  submacs  14458  gsumwspan  14484  frmdsssubm  14499  issubg3  14653  cntzsubm  14827  oppgsubm  14851  lsmsubm  14980  issubrg3  15589  xrge0subm  16428  cnsubmlem  16435  iistmd  23301  issubmd  27486  isdomn3  27626  mon1psubm  27628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-submnd 14432
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