MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm2 Unicode version

Theorem issubm2 14442
Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm2.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
issubm2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
issubm2.h  |-  H  =  ( Ms  S )
Assertion
Ref Expression
issubm2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )

Proof of Theorem issubm2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubm2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  M
)
2 issubm2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  M )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
41, 2, 3issubm 14441 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S ) ) )
5 issubm2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( Ms  S )
61, 3, 2, 5issubmnd 14417 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
) )
76bicomd 192 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  S  <->  H  e.  Mnd ) )
873expb 1152 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S ) )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S  <->  H  e.  Mnd ) )
98pm5.32da 622 . . 3  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  M ) y )  e.  S
)  <->  ( ( S 
C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd ) ) )
10 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S )  <->  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S ) )
11 df-3an 936 . . 3  |-  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd )  <->  ( ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd ) )
129, 10, 113bitr4g 279 . 2  |-  ( M  e.  Mnd  ->  (
( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  M
) y )  e.  S )  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )
134, 12bitrd 244 1  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( S  e.  (SubMnd `  M
)  <->  ( S  C_  B  /\  .0.  e.  S  /\  H  e.  Mnd ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377  SubMndcsubmnd 14430
This theorem is referenced by:  submss  14443  submid  14444  subm0cl  14445  submmnd  14447  subsubm  14450  unitsubm  15468  subrgsubm  15574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432
  Copyright terms: Public domain W3C validator