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Theorem issubmnd 14417
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubmnd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
issubmnd.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
issubmnd  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x, H, y    x,  .+ , y    x, S, y    x,  .0. , y

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubmnd.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10  |-  B  e. 
_V
43ssex 4174 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
543ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  e.  _V )
6 issubmnd.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( Gs  S )
7 issubmnd.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
86, 7ressplusg 13266 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
109ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
1110oveqd 5891 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
12 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  H  e.  Mnd )
13 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
14 simpll2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
156, 1ressbas2 13215 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  H
) )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  =  ( Base `  H ) )
1713, 16eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  ( Base `  H ) )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
1918, 16eleqtrd 2372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( Base `  H ) )
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
21 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
2220, 21mndcl 14388 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
x ( +g  `  H
) y )  e.  ( Base `  H
) )
2312, 17, 19, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( +g  `  H ) y )  e.  ( Base `  H
) )
2411, 23eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  ( Base `  H ) )
2524, 16eleqtrrd 2373 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2625ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
27 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
2827, 15syl 15 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
299adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
30 proplem2 13607 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3130ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
u  e.  S  /\  v  e.  S )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
32313impb 1147 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S )
33323adant1l 1174 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3427sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
u  e.  S  ->  u  e.  B )
)
3527sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
v  e.  S  -> 
v  e.  B ) )
3627sseld 3192 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
w  e.  S  ->  w  e.  B )
)
3734, 35, 363anim123d 1259 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3837imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
39 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
401, 7mndass 14389 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4139, 40sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4238, 41syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
43 simpl3 960 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .0.  e.  S )
4427sselda 3193 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  B )
45 issubmnd.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
461, 7, 45mndlid 14409 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u
)  =  u )
4739, 46sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
4844, 47syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
491, 7, 45mndrid 14410 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  ( u  .+  .0.  )  =  u )
5039, 49sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5144, 50syldan 456 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5228, 29, 33, 42, 43, 48, 51ismndd 14412 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  H  e.  Mnd )
5326, 52impbida 805 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  issubm2  14442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383
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