Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrg Structured version   Unicode version

Theorem issubrg 15860
 Description: The subring predicate. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrg.b
issubrg.i
Assertion
Ref Expression
issubrg SubRing s

Proof of Theorem issubrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-subrg 15858 . . . 4 SubRing s
21dmmptss 5358 . . 3 SubRing
3 elfvdm 5749 . . 3 SubRing SubRing
42, 3sseldi 3338 . 2 SubRing
5 simpll 731 . 2 s
6 fveq2 5720 . . . . . . . 8
7 issubrg.b . . . . . . . 8
86, 7syl6eqr 2485 . . . . . . 7
98pweqd 3796 . . . . . 6
10 oveq1 6080 . . . . . . . 8 s s
1110eleq1d 2501 . . . . . . 7 s s
12 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
13 issubrg.i . . . . . . . . 9
1412, 13syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
1514eleq1d 2501 . . . . . . 7
1611, 15anbi12d 692 . . . . . 6 s s
179, 16rabeqbidv 2943 . . . . 5 s s
18 fvex 5734 . . . . . . . 8
197, 18eqeltri 2505 . . . . . . 7
2019pwex 4374 . . . . . 6
2120rabex 4346 . . . . 5 s
2217, 1, 21fvmpt 5798 . . . 4 SubRing s
2322eleq2d 2502 . . 3 SubRing s
24 oveq2 6081 . . . . . . . 8 s s
2524eleq1d 2501 . . . . . . 7 s s
26 eleq2 2496 . . . . . . 7
2725, 26anbi12d 692 . . . . . 6 s s
2827elrab 3084 . . . . 5 s s
2919elpw2 4356 . . . . . 6
3029anbi1i 677 . . . . 5 s s
31 an12 773 . . . . 5 s s
3228, 30, 313bitri 263 . . . 4 s s
33 ibar 491 . . . . 5 s s
3433anbi1d 686 . . . 4 s s
3532, 34syl5bb 249 . . 3 s s
3623, 35bitrd 245 . 2 SubRing s
374, 5, 36pm5.21nii 343 1 SubRing s
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  cpw 3791   cdm 4870  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   ↾s cress 13462  crg 15652  cur 15654  SubRingcsubrg 15856 This theorem is referenced by:  subrgss  15861  subrgid  15862  subrgrng  15863  subrgrcl  15865  subrg1cl  15868  issubrg2  15880  subsubrg  15886  subrgpropd  15894  issubassa  16375  subrgpsr  16474  cphsubrglem  19132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-subrg 15858
 Copyright terms: Public domain W3C validator