Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrg2 Structured version   Unicode version

Theorem issubrg2 15890
 Description: Characterize the subrings of a ring by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrg2.b
issubrg2.o
issubrg2.t
Assertion
Ref Expression
issubrg2 SubRing SubGrp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem issubrg2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 15876 . . 3 SubRing SubGrp
2 issubrg2.o . . . 4
32subrg1cl 15878 . . 3 SubRing
4 issubrg2.t . . . . . 6
54subrgmcl 15882 . . . . 5 SubRing
653expb 1155 . . . 4 SubRing
76ralrimivva 2800 . . 3 SubRing
81, 3, 73jca 1135 . 2 SubRing SubGrp
9 simpl 445 . . . . 5 SubGrp
10 simpr1 964 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
11 eqid 2438 . . . . . . . 8 s s
1211subgbas 14950 . . . . . . 7 SubGrp s
1310, 12syl 16 . . . . . 6 SubGrp s
14 eqid 2438 . . . . . . . 8
1511, 14ressplusg 13573 . . . . . . 7 SubGrp s
1610, 15syl 16 . . . . . 6 SubGrp s
1711, 4ressmulr 13584 . . . . . . 7 SubGrp s
1810, 17syl 16 . . . . . 6 SubGrp s
1911subggrp 14949 . . . . . . 7 SubGrp s
2010, 19syl 16 . . . . . 6 SubGrp s
21 simpr3 966 . . . . . . . 8 SubGrp
22 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
24 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
2524eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
2623, 25rspc2v 3060 . . . . . . . 8
2721, 26syl5com 29 . . . . . . 7 SubGrp
28273impib 1152 . . . . . 6 SubGrp
29 issubrg2.b . . . . . . . . . . . 12
3029subgss 14947 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp
3231sseld 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
3331sseld 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
3431sseld 3349 . . . . . . . . 9 SubGrp
3532, 33, 343anim123d 1262 . . . . . . . 8 SubGrp
3635imp 420 . . . . . . 7 SubGrp
3729, 4rngass 15682 . . . . . . . 8
3837adantlr 697 . . . . . . 7 SubGrp
3936, 38syldan 458 . . . . . 6 SubGrp
4029, 14, 4rngdi 15684 . . . . . . . 8
4140adantlr 697 . . . . . . 7 SubGrp
4236, 41syldan 458 . . . . . 6 SubGrp
4329, 14, 4rngdir 15685 . . . . . . . 8
4443adantlr 697 . . . . . . 7 SubGrp
4536, 44syldan 458 . . . . . 6 SubGrp
46 simpr2 965 . . . . . 6 SubGrp
4732imp 420 . . . . . . 7 SubGrp
4829, 4, 2rnglidm 15689 . . . . . . . 8
4948adantlr 697 . . . . . . 7 SubGrp
5047, 49syldan 458 . . . . . 6 SubGrp
5129, 4, 2rngridm 15690 . . . . . . . 8
5251adantlr 697 . . . . . . 7 SubGrp
5347, 52syldan 458 . . . . . 6 SubGrp
5413, 16, 18, 20, 28, 39, 42, 45, 46, 50, 53isrngd 15700 . . . . 5 SubGrp s
559, 54jca 520 . . . 4 SubGrp s
5631, 46jca 520 . . . 4 SubGrp
5729, 2issubrg 15870 . . . 4 SubRing s
5855, 56, 57sylanbrc 647 . . 3 SubGrp SubRing
5958ex 425 . 2 SubGrp SubRing
608, 59impbid2 197 1 SubRing SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   ↾s cress 13472   cplusg 13531  cmulr 13532  cgrp 14687  SubGrpcsubg 14940  crg 15662  cur 15664  SubRingcsubrg 15866 This theorem is referenced by:  opprsubrg  15891  subrgint  15892  issubrg3  15898  issubrngd2  16264  mplsubrg  16505  mplind  16564  cnsubrglem  16750 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868
 Copyright terms: Public domain W3C validator