MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrngd2 Unicode version

Theorem issubrngd2 15959
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
issubgrpd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
issubgrpd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
issubgrpd.ss  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
issubgrpd.zcl  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
issubgrpd.acl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
issubgrpd.ncl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
issubrngd.o  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  I ) )
issubrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  I ) )
issubrngd.ocl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
issubrngd.tcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  D
)
issubrngd.g  |-  ( ph  ->  I  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
issubrngd2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubRing `  I
) )
Distinct variable groups:    x, y,  .0.    x, D, y    x, I, y    x,  .+ , y    ph, x, y    x, S, y    x,  .x. , y
Allowed substitution hints:    .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrngd2
StepHypRef Expression
1 issubgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
2 issubgrpd.z . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
3 issubgrpd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
4 issubgrpd.ss . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
5 issubgrpd.zcl . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
6 issubgrpd.acl . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
7 issubgrpd.ncl . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
8 issubrngd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Ring )
9 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( I  e.  Ring  ->  I  e. 
Grp )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 15957 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
12 issubrngd.o . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  I ) )
13 issubrngd.ocl . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
1412, 13eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  I
)  e.  D )
15 issubrngd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  I ) )
1615proplem3 13609 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  I
) y ) )
17 issubrngd.tcl . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  D
)
18173expb 1152 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  D )
1916, 18eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x ( .r
`  I ) y )  e.  D )
2019ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x ( .r
`  I ) y )  e.  D )
21 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
22 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1r
`  I )  =  ( 1r `  I
)
23 eqid 2296 . . . 4  |-  ( .r
`  I )  =  ( .r `  I
)
2421, 22, 23issubrg2 15581 . . 3  |-  ( I  e.  Ring  ->  ( D  e.  (SubRing `  I
)  <->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  /\  ( 1r `  I
)  e.  D  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( .r `  I ) y )  e.  D ) ) )
258, 24syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (SubRing `  I )  <->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  /\  ( 1r `  I
)  e.  D  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( .r `  I ) y )  e.  D ) ) )
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1135 1  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubRing `  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  SubGrpcsubg 14631   Ringcrg 15353   1rcur 15355  SubRingcsubrg 15557
This theorem is referenced by:  rngunsnply  27481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-subrg 15559
  Copyright terms: Public domain W3C validator