MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrngd2 Structured version   Unicode version

Theorem issubrngd2 16264
Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
issubgrpd.z  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
issubgrpd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
issubgrpd.ss  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
issubgrpd.zcl  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
issubgrpd.acl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
issubgrpd.ncl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
issubrngd.o  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  I ) )
issubrngd.t  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  I ) )
issubrngd.ocl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
issubrngd.tcl  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  D
)
issubrngd.g  |-  ( ph  ->  I  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
issubrngd2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubRing `  I
) )
Distinct variable groups:    x, y,  .0.    x, D, y    x, I, y    x,  .+ , y    ph, x, y    x, S, y    x,  .x. , y
Allowed substitution hints:    .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrngd2
StepHypRef Expression
1 issubgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( Is  D ) )
2 issubgrpd.z . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  I ) )
3 issubgrpd.p . . 3  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  I ) )
4 issubgrpd.ss . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  ( Base `  I ) )
5 issubgrpd.zcl . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  D )
6 issubgrpd.acl . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .+  y )  e.  D
)
7 issubgrpd.ncl . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( inv g `  I ) `  x
)  e.  D )
8 issubrngd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Ring )
9 rnggrp 15671 . . . 4  |-  ( I  e.  Ring  ->  I  e. 
Grp )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Grp )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 16262 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubGrp `  I ) )
12 issubrngd.o . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 1r
`  I ) )
13 issubrngd.ocl . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
1412, 13eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1r `  I
)  e.  D )
15 issubrngd.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( .r
`  I ) )
1615proplem3 13918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =  ( x ( .r `  I
) y ) )
17 issubrngd.tcl . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D  /\  y  e.  D
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  D
)
18173expb 1155 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  D )
1916, 18eqeltrrd 2513 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( x ( .r
`  I ) y )  e.  D )
2019ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( x ( .r
`  I ) y )  e.  D )
21 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  I )  =  ( 1r `  I
)
23 eqid 2438 . . . 4  |-  ( .r
`  I )  =  ( .r `  I
)
2421, 22, 23issubrg2 15890 . . 3  |-  ( I  e.  Ring  ->  ( D  e.  (SubRing `  I
)  <->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  /\  ( 1r `  I
)  e.  D  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( .r `  I ) y )  e.  D ) ) )
258, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  (SubRing `  I )  <->  ( D  e.  (SubGrp `  I )  /\  ( 1r `  I
)  e.  D  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
x ( .r `  I ) y )  e.  D ) ) )
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1138 1  |-  ( ph  ->  D  e.  (SubRing `  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688  SubGrpcsubg 14940   Ringcrg 15662   1rcur 15664  SubRingcsubrg 15866
This theorem is referenced by:  rngunsnply  27357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-subg 14943  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-subrg 15868
  Copyright terms: Public domain W3C validator