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Theorem issubrv 25672
Description: Addition of complex vectors. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubrv.2  |-  - w  =  (  - cv  `  N
)
Assertion
Ref Expression
issubrv  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N
Allowed substitution hint:    - w( x)

Proof of Theorem issubrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  y  e.  ( 1 ... N ) )
2 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) )  e. 
_V
3 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A `  x )  =  ( A `  y ) )
4 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B `  x )  =  ( B `  y ) )
53, 4oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  x
)  -  ( B `
 x ) )  =  ( ( A `
 y )  -  ( B `  y ) ) )
6 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )
75, 6fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) ) )
81, 2, 7sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) ) ) `
 y )  =  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
) )
98oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) )  =  ( ( B `  y
)  +  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) ) ) )
10 cnex 8818 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
11 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
1210, 11elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  B :
( 1 ... N
) --> CC )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( B : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
1512, 14sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
16153ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( B `  y )  e.  CC ) )
1716imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
1810, 11elmap 6796 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  A :
( 1 ... N
) --> CC )
19 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
2019ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
2118, 20sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
22213ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( A `  y )  e.  CC ) )
2322imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
2417, 23pncan3d 9160 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
) )  =  ( A `  y ) )
259, 24eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) )  =  ( A `  y ) )
2625mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( A `  y
) ) )
27 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN )
28 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
29 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
3029ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  x
)  e.  CC ) )
3118, 30sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  x
)  e.  CC ) )
32313ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( A `  x )  e.  CC ) )
33 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  x )  e.  CC )
3433ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  x
)  e.  CC ) )
3512, 34sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  x
)  e.  CC ) )
36353ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( B `  x )  e.  CC ) )
3732, 36jcad 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( ( A `  x )  e.  CC  /\  ( B `
 x )  e.  CC ) ) )
38 subcl 9051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  x
)  e.  CC  /\  ( B `  x )  e.  CC )  -> 
( ( A `  x )  -  ( B `  x )
)  e.  CC )
3937, 38syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) )  e.  CC ) )
4039ralrimiv 2625 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) )  e.  CC )
416fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
4240, 41sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
4310, 11pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( CC  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V )
44 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
4543, 44mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
4642, 45mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
47 eqid 2283 . . . . 5  |-  (  + cv `  N )  =  (  + cv `  N )
4847isaddrv 25646 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( B (  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) `  y
) ) ) )
4927, 28, 46, 48syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) `  y
) ) ) )
50 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
5150, 18sylib 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A :
( 1 ... N
) --> CC )
5251feqmptd 5575 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( A `  y
) ) )
5326, 49, 523eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A )
5410, 11elmap 6796 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
5542, 54sylibr 203 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
56 issubrv.2 . . . 4  |-  - w  =  (  - cv  `  N
)
5747, 56subaddv 25671 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  <->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A ) )
5827, 50, 28, 55, 57syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  <->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A ) )
5953, 58mpbird 223 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   ...cfz 10782    + cvcplcv 25644    - cv cmcv 25664
This theorem is referenced by:  subclrvd  25674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-nn 9747  df-addcv 25645  df-nullcv 25651  df-subcatv 25665
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