Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issubrv Unicode version

Theorem issubrv 25775
Description: Addition of complex vectors. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubrv.2  |-  - w  =  (  - cv  `  N
)
Assertion
Ref Expression
issubrv  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, N
Allowed substitution hint:    - w( x)

Proof of Theorem issubrv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  y  e.  ( 1 ... N ) )
2 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) )  e. 
_V
3 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( A `  x )  =  ( A `  y ) )
4 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( B `  x )  =  ( B `  y ) )
53, 4oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( A `  x
)  -  ( B `
 x ) )  =  ( ( A `
 y )  -  ( B `  y ) ) )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )
75, 6fvmptg 5616 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 1 ... N )  /\  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) ) )
81, 2, 7sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) ) ) `
 y )  =  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
) )
98oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) )  =  ( ( B `  y
)  +  ( ( A `  y )  -  ( B `  y ) ) ) )
10 cnex 8834 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
11 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
1210, 11elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  B :
( 1 ... N
) --> CC )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
1413ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( B : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
1512, 14sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  y
)  e.  CC ) )
16153ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( B `  y )  e.  CC ) )
1716imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  y )  e.  CC )
1810, 11elmap 6812 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  <->  A :
( 1 ... N
) --> CC )
19 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
2019ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
2118, 20sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  y
)  e.  CC ) )
22213ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( A `  y )  e.  CC ) )
2322imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  y )  e.  CC )
2417, 23pncan3d 9176 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( A `  y )  -  ( B `  y )
) )  =  ( A `  y ) )
259, 24eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) ) )  /\  y  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) )  =  ( A `  y ) )
2625mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( A `  y
) ) )
27 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN )
28 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
29 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  x )  e.  CC )
3029ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  x
)  e.  CC ) )
3118, 30sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( A `  x
)  e.  CC ) )
32313ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( A `  x )  e.  CC ) )
33 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B : ( 1 ... N ) --> CC 
/\  x  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  x )  e.  CC )
3433ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : ( 1 ... N ) --> CC  ->  ( x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  x
)  e.  CC ) )
3512, 34sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... N )  -> 
( B `  x
)  e.  CC ) )
36353ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( B `  x )  e.  CC ) )
3732, 36jcad 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( ( A `  x )  e.  CC  /\  ( B `
 x )  e.  CC ) ) )
38 subcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  x
)  e.  CC  /\  ( B `  x )  e.  CC )  -> 
( ( A `  x )  -  ( B `  x )
)  e.  CC )
3937, 38syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x ) )  e.  CC ) )
4039ralrimiv 2638 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... N
) ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) )  e.  CC )
416fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... N ) ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
4240, 41sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
4310, 11pm3.2i 441 . . . . . 6  |-  ( CC  e.  _V  /\  (
1 ... N )  e. 
_V )
44 elmapg 6801 . . . . . 6  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  ( 1 ... N
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  <-> 
( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
4543, 44mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC ) )
4642, 45mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
47 eqid 2296 . . . . 5  |-  (  + cv `  N )  =  (  + cv `  N )
4847isaddrv 25749 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) )  ->  ( B (  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) `  y
) ) ) )
4927, 28, 46, 48syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  y )  +  ( ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) `  y
) ) ) )
50 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )
5150, 18sylib 188 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A :
( 1 ... N
) --> CC )
5251feqmptd 5591 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  A  =  ( y  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( A `  y
) ) )
5326, 49, 523eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A )
5410, 11elmap 6812 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) )  <->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) : ( 1 ... N ) --> CC )
5542, 54sylibr 203 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) ) )
56 issubrv.2 . . . 4  |-  - w  =  (  - cv  `  N
)
5747, 56subaddv 25774 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  (
x  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( A `  x
)  -  ( B `
 x ) ) )  e.  ( CC 
^m  ( 1 ... N ) ) ) )  ->  ( ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  <->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A ) )
5827, 50, 28, 55, 57syl13anc 1184 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) )  <->  ( B
(  + cv `  N
) ( x  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( A `
 x )  -  ( B `  x ) ) ) )  =  A ) )
5953, 58mpbird 223 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( CC  ^m  ( 1 ... N
) )  /\  B  e.  ( CC  ^m  (
1 ... N ) ) )  ->  ( A - w B )  =  ( x  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( A `  x )  -  ( B `  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NNcn 9762   ...cfz 10798    + cvcplcv 25747    - cv cmcv 25767
This theorem is referenced by:  subclrvd  25777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-nn 9763  df-addcv 25748  df-nullcv 25754  df-subcatv 25768
  Copyright terms: Public domain W3C validator