MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist0-2 Structured version   Unicode version

Theorem ist0-2 17408
Description: The predicate "is a T0 space". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist0-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-2
StepHypRef Expression
1 topontop 16991 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2436 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist0 17384 . . . 4  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43baib 872 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
6 toponuni 16992 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2910 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
86, 7raleqbidv 2916 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
95, 8bitr4d 248 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   A.wral 2705   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Topctop 16958  TopOnctopon 16959   Kol2ct0 17370
This theorem is referenced by:  ist0-3  17409  t1t0  17412  ist0-4  17761  kqt0lem  17768  tgpt0  18148  onsuct0  26191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topon 16966  df-t0 17377
  Copyright terms: Public domain W3C validator