Theorem ist0-3 17414

Description: The predicate "is a T₀ space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-3	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, o, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0-2 17413	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
2		con34b 285	. . . 4 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
3		df-ne 2603	. . . . 5 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
4		xor 863	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) )
5		ancom 439	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. o /\ -. x e. o ) <-> ( -. x e. o /\ y e. o ) )
6	5	orbi2i 507	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
7	4, 6	bitri 242	. . . . . . 7 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
8	7	rexbii 2732	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
9		rexnal 2718	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
10	8, 9	bitr3i 244	. . . . 5 |- ( E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
11	3, 10	imbi12i 318	. . . 4 |- ( ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
12	2, 11	bitr4i 245	. . 3 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
13	12	2ralbii 2733	. 2 |- ( A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
14	1, 13	syl6bb 254	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 178   \/ wo 359   /\ wa 360   e. wcel 1726   =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   ` cfv 5457  TopOnctopon 16964   Kol2ct0 17375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-topon 16971  df-t0 17382