Theorem ist0-3 17371

Description: The predicate "is a T₀ space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
ist0-3	|- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, o, J   o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0-2 17370	. 2 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) ) )
2		con34b 284	. . . 4 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
3		df-ne 2577	. . . . 5 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
4		xor 862	. . . . . . . 8 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) )
5		ancom 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. o /\ -. x e. o ) <-> ( -. x e. o /\ y e. o ) )
6	5	orbi2i 506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( y e. o /\ -. x e. o ) ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
7	4, 6	bitri 241	. . . . . . 7 |- ( -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
8	7	rexbii 2699	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) )
9		rexnal 2685	. . . . . 6 |- ( E. o e. J -. ( x e. o <-> y e. o ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
10	8, 9	bitr3i 243	. . . . 5 |- ( E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) <-> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) )
11	3, 10	imbi12i 317	. . . 4 |- ( ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) <-> ( -. x = y -> -. A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) ) )
12	2, 11	bitr4i 244	. . 3 |- ( ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
13	12	2ralbii 2700	. 2 |- ( A. x e. X A. y e. X ( A. o e. J ( x e. o <-> y e. o ) -> x = y ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) )
14	1, 13	syl6bb 253	1 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( J e. Kol2 <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. o e. J ( ( x e. o /\ -. y e. o ) \/ ( -. x e. o /\ y e. o ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   e. wcel 1721   =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   ` cfv 5421  TopOnctopon 16922   Kol2ct0 17332

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-topon 16929  df-t0 17339