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Theorem ist0-3 17073
Description: The predicate "is a T0 space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 17072 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
2 con34b 283 . . . 4  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 df-ne 2448 . . . . 5  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
4 xor 861 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) ) )
5 ancom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
)  <->  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o ) )
65orbi2i 505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) )  <->  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
74, 6bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )
87rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  E. o  e.  J  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
9 rexnal 2554 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
108, 9bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
113, 10imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -. 
A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
122, 11bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
13122ralbii 2569 . 2  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
141, 13syl6bb 252 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   ` cfv 5255  TopOnctopon 16632   Kol2ct0 17034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topon 16639  df-t0 17041
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