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Theorem ist0-3 17414
Description: The predicate "is a T0 space," expressed in more familiar terms. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)
Assertion
Ref Expression
ist0-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist0-3
StepHypRef Expression
1 ist0-2 17413 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )
) )
2 con34b 285 . . . 4  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
3 df-ne 2603 . . . . 5  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
4 xor 863 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) ) )
5 ancom 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
)  <->  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o ) )
65orbi2i 507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  (
y  e.  o  /\  -.  x  e.  o
) )  <->  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
74, 6bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )
87rexbii 2732 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  E. o  e.  J  ( (
x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o )
) )
9 rexnal 2718 . . . . . 6  |-  ( E. o  e.  J  -.  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
108, 9bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )
113, 10imbi12i 318 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  -. 
A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
122, 11bitr4i 245 . . 3  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
13122ralbii 2733 . 2  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) )
141, 13syl6bb 254 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  \/  ( -.  x  e.  o  /\  y  e.  o
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   ` cfv 5457  TopOnctopon 16964   Kol2ct0 17375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-topon 16971  df-t0 17382
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