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Theorem ist1-2 17091
Description: An alternate characterization of T1 spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2
StepHypRef Expression
1 topontop 16680 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist1 17065 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43baib 871 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
6 toponuni 16681 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2755 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
81adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eltop2 16729 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
116eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. J ) )
1211biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. J )
1312snssd 3776 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  { y }  C_  U. J )
142iscld2 16781 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y }  C_  U. J
)  ->  ( {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
158, 13, 14syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
166adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1817imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) ) )
19 con1b 323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
20 df-ne 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2120imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
22 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  o )
23 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
24 reldisj 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o 
C_  U. J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2622, 25syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  J  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o 
C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2726anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  J  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  <->  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
2827rexbiia 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
29 rexanali 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3028, 29bitr3i 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3130con2bii 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  <->  -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
3231imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
3319, 21, 323bitr4ri 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
3433imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
35 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )
3635imbi1i 315 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( (
x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
37 impexp 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3836, 37bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3918, 34, 383bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  ( U. J  \  {
y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2578 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  ( U. J  \  {
y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
4110, 15, 403bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
4241ralbidva 2572 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43 ralcom 2713 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
4442, 43syl6bb 252 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
455, 7, 443bitr2d 272 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   Frect1 17051
This theorem is referenced by:  t1t0  17092  ist1-3  17093  haust1  17096  t1sep2  17113  isr0  17444  tgpt0  17817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058
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