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Theorem ist1-2 17335
Description: An alternate characterization of T1 spaces. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
o, J    o, X, x, y

Proof of Theorem ist1-2
StepHypRef Expression
1 topontop 16916 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
32ist1 17309 . . . 4  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
43baib 872 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J ) ) )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
6 toponuni 16917 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
76raleqdv 2855 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  U. J { y }  e.  ( Clsd `  J )
) )
81adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
9 eltop2 16965 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( U. J  \  { y } )  e.  J  <->  A. x  e.  ( U. J  \  { y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
116eleq2d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  U. J ) )
1211biimpa 471 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  U. J )
1312snssd 3888 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  { y }  C_  U. J )
142iscld2 17017 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y }  C_  U. J
)  ->  ( {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
158, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  {
y } )  e.  J ) )
166adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1716eleq2d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1817imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )  <-> 
( x  e.  U. J  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) ) )
19 con1b 324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
20 df-ne 2554 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2120imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
22 disjsn 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( o  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  o )
23 elssuni 3987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  e.  J  ->  o  C_ 
U. J )
24 reldisj 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o 
C_  U. J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  e.  J  ->  (
( o  i^i  {
y } )  =  (/) 
<->  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2622, 25syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( o  e.  J  ->  ( -.  y  e.  o  <->  o 
C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
2726anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( o  e.  J  ->  (
( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o )  <->  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
2827rexbiia 2684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
29 rexanali 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  -.  y  e.  o
)  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3028, 29bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  <->  -.  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
3130con2bii 323 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  <->  -.  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )
3231imbi1i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( -.  E. o  e.  J  (
x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) )  ->  x  =  y ) )
3319, 21, 323bitr4ri 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
3433imbi2i 304 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  -> 
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
35 eldifsn 3872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )
3635imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( (
x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
37 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  U. J  /\  x  =/=  y
)  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3836, 37bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( U. J  \  { y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) )  <->  ( x  e.  U. J  ->  (
x  =/=  y  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
3918, 34, 383bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( x  e.  ( U. J  \  {
y } )  ->  E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) ) )
4039ralbidv2 2673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  ( U. J  \  {
y } ) E. o  e.  J  ( x  e.  o  /\  o  C_  ( U. J  \  { y } ) ) ) )
4110, 15, 403bitr4d 277 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( { y }  e.  ( Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
4241ralbidva 2667 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
43 ralcom 2813 . . 3  |-  ( A. y  e.  X  A. x  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
4442, 43syl6bb 253 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. y  e.  X  {
y }  e.  (
Clsd `  J )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
455, 7, 443bitr2d 273 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    \ cdif 3262    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {csn 3759   U.cuni 3959   ` cfv 5396   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   Clsdccld 17005   Frect1 17295
This theorem is referenced by:  t1t0  17336  ist1-3  17337  haust1  17340  t1sep2  17357  isr0  17692  tgpt0  18071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fv 5404  df-topgen 13596  df-top 16888  df-topon 16891  df-cld 17008  df-t1 17302
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