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Theorem ist1-3 17077
Description: A space is T1 iff every point is the only point in the intersection of all open sets containing that point. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, o, J    o, X, x

Proof of Theorem ist1-3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist1-2 17075 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
2 toponmax 16666 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  X  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  X ) )
43intminss 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X
)
52, 4sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X )
65sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
y  e.  X )
7 biimt 325 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  (
y  e.  { x } 
<->  ( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) ) )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
( y  e.  {
x }  <->  ( y  e.  X  ->  y  e. 
{ x } ) ) )
98ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e.  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  (
y  e.  X  -> 
y  e.  { x } ) ) )
10 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
1110rgenw 2610 . . . . . . . 8  |-  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
12 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1312elintrab 3874 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o ) )
1411, 13mpbir 200 . . . . . . 7  |-  x  e. 
|^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
15 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
17 eqss 3194 . . . . . 6  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  /\  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } ) )
1816, 17mpbiran2 885 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  { x } )
19 dfss3 3170 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
2018, 19bitri 240 . . . 4  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
21 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2221elintrab 3874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
23 elsn 3655 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
24 equcom 1647 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
2523, 24bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  x  =  y )
2622, 25imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
2726ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
28 ralcom3 2705 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
2927, 28bitr3i 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
309, 20, 293bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
3130ralbidva 2559 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
321, 31bitr4d 247 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   {csn 3640   |^|cint 3862   ` cfv 5255  TopOnctopon 16632   Frect1 17035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-t1 17042
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