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Theorem ist1-3 17093
Description: A space is T1 iff every point is the only point in the intersection of all open sets containing that point. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, o, J    o, X, x

Proof of Theorem ist1-3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist1-2 17091 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
2 toponmax 16682 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  X  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  X ) )
43intminss 3904 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X
)
52, 4sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X )
65sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
y  e.  X )
7 biimt 325 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  (
y  e.  { x } 
<->  ( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) ) )
86, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
( y  e.  {
x }  <->  ( y  e.  X  ->  y  e. 
{ x } ) ) )
98ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e.  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  (
y  e.  X  -> 
y  e.  { x } ) ) )
10 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
1110rgenw 2623 . . . . . . . 8  |-  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
12 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1312elintrab 3890 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o ) )
1411, 13mpbir 200 . . . . . . 7  |-  x  e. 
|^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
15 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
17 eqss 3207 . . . . . 6  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  /\  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } ) )
1816, 17mpbiran2 885 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  { x } )
19 dfss3 3183 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
2018, 19bitri 240 . . . 4  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
21 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2221elintrab 3890 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
23 elsn 3668 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
24 equcom 1665 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
2523, 24bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  x  =  y )
2622, 25imbi12i 316 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
2726ralbii 2580 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
28 ralcom3 2718 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
2927, 28bitr3i 242 . . . 4  |-  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
309, 20, 293bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
3130ralbidva 2572 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
321, 31bitr4d 247 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   {csn 3653   |^|cint 3878   ` cfv 5271  TopOnctopon 16648   Frect1 17051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-t1 17058
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