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Theorem ist1-3 17415
Description: A space is T1 iff every point is the only point in the intersection of all open sets containing that point. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Distinct variable groups:    x, o, J    o, X, x

Proof of Theorem ist1-3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist1-2 17413 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
2 toponmax 16995 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
3 eleq2 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  X  ->  (
x  e.  o  <->  x  e.  X ) )
43intminss 4078 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  J  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X
)
52, 4sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  X )
65sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
y  e.  X )
7 biimt 327 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  (
y  e.  { x } 
<->  ( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )  -> 
( y  e.  {
x }  <->  ( y  e.  X  ->  y  e. 
{ x } ) ) )
98ralbidva 2723 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e.  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  (
y  e.  X  -> 
y  e.  { x } ) ) )
10 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
1110rgenw 2775 . . . . . . . 8  |-  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o )
12 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1312elintrab 4064 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  x  e.  o ) )
1411, 13mpbir 202 . . . . . . 7  |-  x  e. 
|^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
15 snssi 3944 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }
17 eqss 3365 . . . . . 6  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  /\  { x }  C_  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } ) )
1816, 17mpbiran2 887 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_  { x } )
19 dfss3 3340 . . . . 5  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  C_ 
{ x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
2018, 19bitri 242 . . . 4  |-  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } y  e. 
{ x } )
21 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2221elintrab 4064 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o ) )
23 elsn 3831 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x }  <->  y  =  x )
24 equcom 1693 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
2523, 24bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x }  <->  x  =  y )
2622, 25imbi12i 318 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
2726ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) )
28 ralcom3 2875 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  X  (
y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  ->  y  e.  { x }
)  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
2927, 28bitr3i 244 . . . 4  |-  ( A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o } 
( y  e.  X  ->  y  e.  { x } ) )
309, 20, 293bitr4g 281 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  ( |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } 
<-> 
A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
3130ralbidva 2723 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  (
x  e.  o  -> 
y  e.  o )  ->  x  =  y ) ) )
321, 31bitr4d 249 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  |^| { o  e.  J  |  x  e.  o }  =  { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   {csn 3816   |^|cint 4052   ` cfv 5456  TopOnctopon 16961   Frect1 17373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-topgen 13669  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-t1 17380
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