Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist1-3 Structured version   Unicode version

Theorem ist1-3 17415
 Description: A space is T1 iff every point is the only point in the intersection of all open sets containing that point. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-3 TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem ist1-3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist1-2 17413 . 2 TopOn
2 toponmax 16995 . . . . . . . 8 TopOn
3 eleq2 2499 . . . . . . . . 9
43intminss 4078 . . . . . . . 8
52, 4sylan 459 . . . . . . 7 TopOn
65sselda 3350 . . . . . 6 TopOn
7 biimt 327 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5 TopOn
98ralbidva 2723 . . . 4 TopOn
10 id 21 . . . . . . . . 9
1110rgenw 2775 . . . . . . . 8
12 vex 2961 . . . . . . . . 9
1312elintrab 4064 . . . . . . . 8
1411, 13mpbir 202 . . . . . . 7
15 snssi 3944 . . . . . . 7
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6
17 eqss 3365 . . . . . 6
1816, 17mpbiran2 887 . . . . 5
19 dfss3 3340 . . . . 5
2018, 19bitri 242 . . . 4
21 vex 2961 . . . . . . . 8
2221elintrab 4064 . . . . . . 7
23 elsn 3831 . . . . . . . 8
24 equcom 1693 . . . . . . . 8
2523, 24bitri 242 . . . . . . 7
2622, 25imbi12i 318 . . . . . 6
2726ralbii 2731 . . . . 5
28 ralcom3 2875 . . . . 5
2927, 28bitr3i 244 . . . 4
309, 20, 293bitr4g 281 . . 3 TopOn
3130ralbidva 2723 . 2 TopOn
321, 31bitr4d 249 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711   wss 3322  csn 3816  cint 4052  cfv 5456  TopOnctopon 16961  ct1 17373 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-topgen 13669  df-top 16965  df-topon 16968  df-cld 17085  df-t1 17380
 Copyright terms: Public domain W3C validator