MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist1-5 Structured version   Unicode version

Theorem ist1-5 17854
Description: A topological space is T1 iff it is both T0 and R0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-5  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)

Proof of Theorem ist1-5
StepHypRef Expression
1 t1t0 17412 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
2 t1hmph 17823 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
3 t1hmph 17823 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  J  e.  Fre )
)
41, 2, 3ist1-5lem 17852 1  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   ` cfv 5454   Kol2ct0 17370   Frect1 17371  KQckq 17725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-1o 6724  df-map 7020  df-topgen 13667  df-qtop 13733  df-top 16963  df-topon 16966  df-cld 17083  df-cn 17291  df-t0 17377  df-t1 17378  df-kq 17726  df-hmeo 17787  df-hmph 17788
  Copyright terms: Public domain W3C validator