MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ist1-5 Unicode version

Theorem ist1-5 17569
Description: A topological space is T1 iff it is both T0 and R0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ist1-5  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)

Proof of Theorem ist1-5
StepHypRef Expression
1 t1t0 17132 . 2  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
2 t1hmph 17538 . 2  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  ( J  e.  Fre  ->  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
3 t1hmph 17538 . 2  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  J  e.  Fre )
)
41, 2, 3ist1-5lem 17567 1  |-  ( J  e.  Fre  <->  ( J  e.  Kol2  /\  (KQ `  J
)  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1701   ` cfv 5292   Kol2ct0 17090   Frect1 17091  KQckq 17440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-suc 4435  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-1o 6521  df-map 6817  df-topgen 13393  df-qtop 13459  df-top 16692  df-topon 16695  df-cld 16812  df-cn 17013  df-t0 17097  df-t1 17098  df-kq 17441  df-hmeo 17502  df-hmph 17503
  Copyright terms: Public domain W3C validator