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Theorem istgp2 17790
Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpsubcn.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
istgp2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 17777 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 tgptps 17779 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
3 tgpsubcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 tgpsubcn.3 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4tgpsubcn 17789 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )
61, 2, 53jca 1132 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
7 simp1 955 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Grp )
8 grpmnd 14510 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
983ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Mnd )
10 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopSp )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
12 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1473ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
15 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
16 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 14557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
1817mpt2eq3dva 5928 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
19 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
2011, 12, 19plusffval 14395 . . . . . 6  |-  ( + f `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
2118, 20syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  =  ( + f `  G ) )
2211, 3istps 16690 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
2310, 22sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2423, 23cnmpt1st 17378 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2523, 23cnmpt2nd 17379 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2611, 13grpinvf 14542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
27263ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
2827feqmptd 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )
29 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3011, 4, 13, 29grpinvval2 14565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
317, 30sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
3231mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( inv g `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3328, 32eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3411, 29grpidcl 14526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
35343ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
3623, 23, 35cnmptc 17372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( 0g
`  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3723cnmptid 17371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
38 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 17376 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4033, 39eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 17382 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 17385 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
4321, 42eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4419, 3istmd 17773 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( + f `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) ) )
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e. TopMnd )
463, 13istgp 17776 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
486, 47impbii 180 1  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   + fcplusf 14380   -gcsg 14381  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650    Cn ccn 16970    tX ctx 17271  TopMndctmd 17769   TopGrpctgp 17770
This theorem is referenced by:  distgp  17798  indistgp  17799  divstgplem  17819  ngptgp  18168  cnfldtgp  18389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-map 6790  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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