Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istgp2 Structured version   Unicode version

Theorem istgp2 18122
 Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2
tgpsubcn.3
Assertion
Ref Expression
istgp2

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 18109 . . 3
2 tgptps 18111 . . 3
3 tgpsubcn.2 . . . 4
4 tgpsubcn.3 . . . 4
53, 4tgpsubcn 18121 . . 3
61, 2, 53jca 1135 . 2
7 simp1 958 . . 3
8 grpmnd 14818 . . . . 5
983ad2ant1 979 . . . 4
10 simp2 959 . . . 4
11 eqid 2437 . . . . . . . 8
12 eqid 2437 . . . . . . . 8
13 eqid 2437 . . . . . . . 8
1473ad2ant1 979 . . . . . . . 8
15 simp2 959 . . . . . . . 8
16 simp3 960 . . . . . . . 8
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 14865 . . . . . . 7
1817mpt2eq3dva 6139 . . . . . 6
19 eqid 2437 . . . . . . 7
2011, 12, 19plusffval 14703 . . . . . 6
2118, 20syl6eqr 2487 . . . . 5
2211, 3istps 17002 . . . . . . 7 TopOn
2310, 22sylib 190 . . . . . 6 TopOn
2423, 23cnmpt1st 17701 . . . . . 6
2523, 23cnmpt2nd 17702 . . . . . . 7
2611, 13grpinvf 14850 . . . . . . . . . . 11
27263ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10
2827feqmptd 5780 . . . . . . . . 9
29 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12
3011, 4, 13, 29grpinvval2 14873 . . . . . . . . . . 11
317, 30sylan 459 . . . . . . . . . 10
3231mpteq2dva 4296 . . . . . . . . 9
3328, 32eqtrd 2469 . . . . . . . 8
3411, 29grpidcl 14834 . . . . . . . . . . 11
35343ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10
3623, 23, 35cnmptc 17695 . . . . . . . . 9
3723cnmptid 17694 . . . . . . . . 9
38 simp3 960 . . . . . . . . 9
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 17699 . . . . . . . 8
4033, 39eqeltrd 2511 . . . . . . 7
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 17705 . . . . . 6
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 17708 . . . . 5
4321, 42eqeltrrd 2512 . . . 4
4419, 3istmd 18105 . . . 4 TopMnd
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1139 . . 3 TopMnd
463, 13istgp 18108 . . 3 TopMnd
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1139 . 2
486, 47impbii 182 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   cmpt 4267  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmpt2 6084  cbs 13470   cplusg 13530  ctopn 13650  c0g 13724  cmnd 14685  cgrp 14686  cminusg 14687  cplusf 14688  csg 14689  TopOnctopon 16960  ctps 16962   ccn 17289   ctx 17593  TopMndctmd 18101  ctgp 18102 This theorem is referenced by:  distgp  18130  indistgp  18131  divstgplem  18151  ngptgp  18678  cnfldtgp  18900 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-map 7021  df-topgen 13668  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-plusf 14692  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-tmd 18103  df-tgp 18104
 Copyright terms: Public domain W3C validator