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Theorem istgp2 18122
Description: A group with a topology is a topological group iff the subtraction operation is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpsubcn.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpsubcn.3  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
istgp2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )

Proof of Theorem istgp2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 18109 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 tgptps 18111 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
3 tgpsubcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
4 tgpsubcn.3 . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  G )
53, 4tgpsubcn 18121 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .-  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  J ) )
61, 2, 53jca 1135 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( G  e. 
Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) ) )
7 simp1 958 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Grp )
8 grpmnd 14818 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
983ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  Mnd )
10 simp2 959 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopSp )
11 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
12 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
13 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1473ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  G  e.  Grp )
15 simp2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
16 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  ( Base `  G )
)
1711, 12, 4, 13, 14, 15, 16grpsubinv 14865 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) )  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
1817mpt2eq3dva 6139 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G )  |->  ( x ( +g  `  G
) y ) ) )
19 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
2011, 12, 19plusffval 14703 . . . . . 6  |-  ( + f `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) y ) )
2118, 20syl6eqr 2487 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  =  ( + f `  G ) )
2211, 3istps 17002 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
2310, 22sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2423, 23cnmpt1st 17701 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  x )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2523, 23cnmpt2nd 17702 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  y )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
2611, 13grpinvf 14850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
27263ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
2827feqmptd 5780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 x ) ) )
29 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3011, 4, 13, 29grpinvval2 14873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
317, 30sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )
3231mpteq2dva 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( inv g `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3328, 32eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( 0g
`  G )  .-  x ) ) )
3411, 29grpidcl 14834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
35343ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
3623, 23, 35cnmptc 17695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( 0g
`  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3723cnmptid 17694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
38 simp3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
3923, 36, 37, 38cnmpt12f 17699 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( 0g `  G ) 
.-  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4033, 39eqeltrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
4123, 23, 25, 40cnmpt21f 17705 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4223, 23, 24, 41, 38cnmpt22f 17708 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  .-  ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )
4321, 42eqeltrrd 2512 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
4419, 3istmd 18105 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( + f `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) ) )
459, 10, 43, 44syl3anbrc 1139 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e. TopMnd )
463, 13istgp 18108 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
477, 45, 40, 46syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) )  ->  G  e.  TopGrp )
486, 47impbii 182 1  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e.  TopSp  /\  .-  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4267   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   TopOpenctopn 13650   0gc0g 13724   Mndcmnd 14685   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687   + fcplusf 14688   -gcsg 14689  TopOnctopon 16960   TopSpctps 16962    Cn ccn 17289    tX ctx 17593  TopMndctmd 18101   TopGrpctgp 18102
This theorem is referenced by:  distgp  18130  indistgp  18131  divstgplem  18151  ngptgp  18678  cnfldtgp  18900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-map 7021  df-topgen 13668  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-plusf 14692  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-tmd 18103  df-tgp 18104
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