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Theorem istopclsd 26745
Description: A closure function which satisfies sscls 17112, clsidm 17123, cls0 17136, and clsun 26322 defines a (unique) topology which it is the closure function on. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
istopclsd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
istopclsd.f  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
istopclsd.e  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
istopclsd.i  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
istopclsd.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
istopclsd.u  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
istopclsd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
Assertion
Ref Expression
istopclsd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Distinct variable groups:    x, B, y, z    ph, x, y, z    x, F, y, z    x, J, y   
x, V, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem istopclsd
StepHypRef Expression
1 istopclsd.j . . . 4  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
2 istopclsd.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
3 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  F  Fn  ~P B
)
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P B
)
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  F  Fn  ~P B )
6 difss 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  z )  C_  B
7 istopclsd.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
8 elpw2g 4355 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
( B  \  z
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  z ) 
C_  B ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  \ 
z )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  z
)  C_  B )
)
106, 9mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  ( B  \  z )  e. 
~P B )
12 fnelfp 26727 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)  ->  ( ( B  \  z )  e. 
dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
135, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
1413bicomd 193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( F `  ( B  \  z ) )  =  ( B  \ 
z )  <->  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
) )
1514rabbidva 2939 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
161, 15syl5eq 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  J  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
17 istopclsd.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
18 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ph )
19 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  x  C_  B
)
20 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  x
)
2120, 19sstrd 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  B
)
22 istopclsd.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
2318, 19, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
24 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  <->  ( x  u.  y )  =  x )
2524biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  (
x  u.  y )  =  x )
26253ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( x  u.  y )  =  x )
2726fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( F `  x ) )
2823, 27eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
29 ssequn2 3512 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y ) 
C_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
3028, 29sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
31 istopclsd.i . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
327, 2, 17, 30, 31ismrcd1 26743 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  e.  (Moore `  B ) )
33 istopclsd.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
34 0elpw 4361 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
35 fnelfp 26727 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  (/)  e.  ~P B
)  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
364, 34, 35sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
3733, 36mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
38 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ph )
39 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  i^i  _I  )  C_  F
40 dmss 5061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  i^i  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F
42 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  dom  F  =  ~P B )
432, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ~P B )
4441, 43syl5sseq 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B
)
45443ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B )
46 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
4745, 46sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  ~P B )
4847elpwid 3800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  C_  B
)
49 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
5045, 49sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  ~P B )
5150elpwid 3800 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  C_  B )
5238, 48, 51, 22syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
5343ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  F  Fn  ~P B )
54 fnelfp 26727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5553, 47, 54syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5646, 55mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
57 fnelfp 26727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  y  e.  ~P B )  ->  (
y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
5853, 50, 57syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
5949, 58mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  y )  =  y )
6056, 59uneq12d 3494 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6152, 60eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6248, 51unssd 3515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  C_  B
)
63 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
64 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
6563, 64unex 4699 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
6665elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P B  <->  ( x  u.  y )  C_  B
)
6762, 66sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ~P B )
68 fnelfp 26727 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( x  u.  y
)  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
6953, 67, 68syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
7061, 69mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)
71 eqid 2435 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  =  { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }
7232, 37, 70, 71mretopd 17148 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
)  /\  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) ) )
7372simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
) )
7416, 73eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
75 topontop 16983 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
7674, 75syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
77 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)
7877mrccls 17135 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
7976, 78syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
) )
8072simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8116fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8280, 81eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  J ) )
8382fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
8479, 83eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
857, 2, 17, 30, 31ismrcd2 26744 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
8684, 85eqtr4d 2470 . 2  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  F )
8774, 86jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791    _I cid 4485   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  mrClscmrc 13800   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   Clsdccld 17072   clsccl 17074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cls 17077
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