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Theorem istopclsd 26878
Description: A closure function which satisfies sscls 16809, clsidm 16820, cls0 16833, and clsun 26349 defines a (unique) topology which it is the closure function on. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
istopclsd.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
istopclsd.f  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
istopclsd.e  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
istopclsd.i  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
istopclsd.z  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
istopclsd.u  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
istopclsd.j  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
Assertion
Ref Expression
istopclsd  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Distinct variable groups:    x, B, y, z    ph, x, y, z    x, F, y, z    x, J, y   
x, V, y, z
Allowed substitution hint:    J( z)

Proof of Theorem istopclsd
StepHypRef Expression
1 istopclsd.j . . . 4  |-  J  =  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }
2 istopclsd.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ~P B --> ~P B )
3 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  F  Fn  ~P B
)
42, 3syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P B
)
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  F  Fn  ~P B )
6 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  z )  C_  B
7 istopclsd.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
8 elpw2g 4190 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  V  ->  (
( B  \  z
)  e.  ~P B  <->  ( B  \  z ) 
C_  B ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  \ 
z )  e.  ~P B 
<->  ( B  \  z
)  C_  B )
)
106, 9mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  ( B  \  z )  e. 
~P B )
12 fnelfp 26858 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( B  \  z
)  e.  ~P B
)  ->  ( ( B  \  z )  e. 
dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
135, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) ) )
1413bicomd 192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ~P B )  ->  (
( F `  ( B  \  z ) )  =  ( B  \ 
z )  <->  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
) )
1514rabbidva 2792 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( F `  ( B  \  z
) )  =  ( B  \  z ) }  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
161, 15syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  J  =  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } )
17 istopclsd.e . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  x  C_  ( F `  x )
)
18 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ph )
19 simp2 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  x  C_  B
)
20 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  x
)
2120, 19sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  y  C_  B
)
22 istopclsd.u . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  B )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
2318, 19, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
24 ssequn2 3361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  x  <->  ( x  u.  y )  =  x )
2524biimpi 186 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  x  ->  (
x  u.  y )  =  x )
26253ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( x  u.  y )  =  x )
2726fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( F `  x ) )
2823, 27eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( ( F `
 x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
29 ssequn2 3361 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y ) 
C_  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( F `  x ) )
3028, 29sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B  /\  y  C_  x )  ->  ( F `  y )  C_  ( F `  x )
)
31 istopclsd.i . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  C_  B
)  ->  ( F `  ( F `  x
) )  =  ( F `  x ) )
327, 2, 17, 30, 31ismrcd1 26876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  e.  (Moore `  B ) )
33 istopclsd.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (/) )  =  (/) )
34 0elpw 4196 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P B
35 fnelfp 26858 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  (/)  e.  ~P B
)  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
364, 34, 35sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
3733, 36mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
38 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ph )
39 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  i^i  _I  )  C_  F
40 dmss 4894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  i^i  _I  )  C_  F  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  dom  F
42 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ~P B --> ~P B  ->  dom  F  =  ~P B )
432, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ~P B )
4441, 43syl5sseq 3239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B
)
45443ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  C_  ~P B )
46 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
4745, 46sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  e.  ~P B )
48 elpwi 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P B  ->  x  C_  B )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  x  C_  B
)
50 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) )
5145, 50sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  e.  ~P B )
52 elpwi 3646 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P B  -> 
y  C_  B )
5351, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  y  C_  B )
5438, 49, 53, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( F `  x
)  u.  ( F `
 y ) ) )
5543ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  F  Fn  ~P B )
56 fnelfp 26858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  x  e.  ~P B )  ->  (
x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5755, 47, 56syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  x )  =  x ) )
5846, 57mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  x )  =  x )
59 fnelfp 26858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  y  e.  ~P B )  ->  (
y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
6055, 51, 59syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  y )  =  y ) )
6150, 60mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  y )  =  y )
6258, 61uneq12d 3343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( ( F `  x )  u.  ( F `  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6354, 62eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) )
6449, 53unssd 3364 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  C_  B
)
65 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
66 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
6765, 66unex 4534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
6867elpw 3644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P B  <->  ( x  u.  y )  C_  B
)
6964, 68sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ~P B )
70 fnelfp 26858 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P B  /\  ( x  u.  y
)  e.  ~P B
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
7155, 69, 70syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  <->  ( F `  ( x  u.  y
) )  =  ( x  u.  y ) ) )
7263, 71mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( F  i^i  _I  )  /\  y  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  dom  ( F  i^i  _I  )
)
73 eqid 2296 . . . . 5  |-  { z  e.  ~P B  | 
( B  \  z
)  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  =  { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }
7432, 37, 72, 73mretopd 16845 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { z  e. 
~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
)  /\  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  {
z  e.  ~P B  |  ( B  \ 
z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) ) )
7574simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) }  e.  (TopOn `  B
) )
7616, 75eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
77 topontop 16680 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
7876, 77syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
79 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
)
8079mrccls 16832 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( cls `  J )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
8178, 80syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  ( Clsd `  J )
) )
8274simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8316fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Clsd `  J
)  =  ( Clsd `  { z  e.  ~P B  |  ( B  \  z )  e.  dom  ( F  i^i  _I  ) } ) )
8482, 83eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  _I  )  =  ( Clsd `  J ) )
8584fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) )  =  (mrCls `  ( Clsd `  J ) ) )
8681, 85eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
877, 2, 17, 30, 31ismrcd2 26877 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  (mrCls `  dom  ( F  i^i  _I  ) ) )
8886, 87eqtr4d 2331 . 2  |-  ( ph  ->  ( cls `  J
)  =  F )
8976, 88jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  ( cls `  J )  =  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638    _I cid 4320   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  mrClscmrc 13501   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   clsccl 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cls 16774
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