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Theorem istopg 16858
Description: Express the predicate " J is a topology." Note: In the literature, a topology is often represented by a script letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors - e.g. K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114 - and it is convenient for us since we later use  T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
istopg  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem istopg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3717 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ~P z  =  ~P J
)
2 eleq2 2427 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( U. x  e.  z  <->  U. x  e.  J ) )
31, 2raleqbidv 2833 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  <->  A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J
) )
4 eleq2 2427 . . . . . 6  |-  ( z  =  J  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
54raleqbi1dv 2829 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
65raleqbi1dv 2829 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
73, 6anbi12d 691 . . 3  |-  ( z  =  J  ->  (
( A. x  e. 
~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
8 df-top 16853 . . 3  |-  Top  =  { z  |  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }
97, 8elab2g 3001 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y
)  e.  J ) ) )
10 df-ral 2633 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J ) )
11 elpw2g 4276 . . . . . 6  |-  ( J  e.  A  ->  (
x  e.  ~P J  <->  x 
C_  J ) )
1211imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( J  e.  A  ->  (
( x  e.  ~P J  ->  U. x  e.  J
)  <->  ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1312albidv 1630 . . . 4  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J )  <->  A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1410, 13syl5bb 248 . . 3  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1514anbi1d 685 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  (
( A. x  e. 
~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
)  <->  ( A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
169, 15bitrd 244 1  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1545    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   U.cuni 3929   Topctop 16848
This theorem is referenced by:  istop2g  16859  uniopn  16860  inopn  16862  istps3OLD  16877  tgcl  16924  distop  16950  indistopon  16955  fctop  16958  cctop  16960  ppttop  16961  epttop  16963  mretopd  17046  toponmre  17047  kgentopon  17450  qtoptop2  17607  filcon  17791  neiptoptop  23643  utoptop  23737  neibastop1  25815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ral 2633  df-v 2875  df-in 3245  df-ss 3252  df-pw 3716  df-top 16853
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