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Theorem istopg 16641
Description: Express the predicate " J is a topology." Note: In the literature, a topology is often represented by a script letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors - e.g. K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114 - and it is convenient for us since we later use  T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
istopg  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, A
Allowed substitution hint:    A( y)

Proof of Theorem istopg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pweq 3628 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ~P z  =  ~P J
)
2 eleq2 2344 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( U. x  e.  z  <->  U. x  e.  J ) )
31, 2raleqbidv 2748 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  <->  A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J
) )
4 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( z  =  J  ->  (
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
54raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( z  =  J  ->  ( A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
65raleqbi1dv 2744 . . . 4  |-  ( z  =  J  ->  ( A. x  e.  z  A. y  e.  z 
( x  i^i  y
)  e.  z  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
73, 6anbi12d 691 . . 3  |-  ( z  =  J  ->  (
( A. x  e. 
~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z )  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
8 df-top 16636 . . 3  |-  Top  =  { z  |  ( A. x  e.  ~P  z U. x  e.  z  /\  A. x  e.  z  A. y  e.  z  ( x  i^i  y )  e.  z ) }
97, 8elab2g 2916 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y
)  e.  J ) ) )
10 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J ) )
11 elpw2g 4174 . . . . . 6  |-  ( J  e.  A  ->  (
x  e.  ~P J  <->  x 
C_  J ) )
1211imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( J  e.  A  ->  (
( x  e.  ~P J  ->  U. x  e.  J
)  <->  ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1312albidv 1611 . . . 4  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x ( x  e. 
~P J  ->  U. x  e.  J )  <->  A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1410, 13syl5bb 248 . . 3  |-  ( J  e.  A  ->  ( A. x  e.  ~P  J U. x  e.  J  <->  A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
) ) )
1514anbi1d 685 . 2  |-  ( J  e.  A  ->  (
( A. x  e. 
~P  J U. x  e.  J  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
)  <->  ( A. x
( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
169, 15bitrd 244 1  |-  ( J  e.  A  ->  ( J  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  J  ->  U. x  e.  J
)  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   Topctop 16631
This theorem is referenced by:  istop2g  16642  uniopn  16643  inopn  16645  istps3OLD  16660  tgcl  16707  distop  16733  indistopon  16738  fctop  16741  cctop  16743  ppttop  16744  epttop  16746  mretopd  16829  toponmre  16830  kgentopon  17233  qtoptop2  17390  filcon  17578  inttop2  25515  qusp  25542  neibastop1  26308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3627  df-top 16636
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