MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istopon Unicode version

Theorem istopon 16663
Description: Property of being a topology with a given base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
istopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )

Proof of Theorem istopon
Dummy variables  b 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5555 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  e.  _V )
2 uniexg 4517 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( B  =  U. J  -> 
( B  e.  _V  <->  U. J  e.  _V )
)
42, 3syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  =  U. J  ->  B  e.  _V )
)
54imp 418 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  =  U. J )  ->  B  e.  _V )
6 eqeq1 2289 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  =  U. j  <->  B  =  U. j ) )
76rabbidv 2780 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  =  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j } )
8 df-topon 16639 . . . . 5  |- TopOn  =  ( b  e.  _V  |->  { j  e.  Top  | 
b  =  U. j } )
9 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
109pwex 4193 . . . . . . 7  |-  ~P b  e.  _V
1110pwex 4193 . . . . . 6  |-  ~P ~P b  e.  _V
12 rabss 3250 . . . . . . 7  |-  ( { j  e.  Top  | 
b  =  U. j }  C_  ~P ~P b  <->  A. j  e.  Top  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
13 pwuni 4206 . . . . . . . . . 10  |-  j  C_  ~P U. j
14 pweq 3628 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  U. j  ->  ~P b  =  ~P U. j )
1513, 14syl5sseqr 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  C_  ~P b
)
16 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
1716elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ~P ~P b  <->  j 
C_  ~P b )
1815, 17sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  e.  ~P ~P b )
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Top  ->  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
2012, 19mprgbir 2613 . . . . . 6  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j } 
C_  ~P ~P b
2111, 20ssexi 4159 . . . . 5  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  e.  _V
227, 8, 21fvmpt3i 5605 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (TopOn `  B )  =  {
j  e.  Top  |  B  =  U. j } )
2322eleq2d 2350 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  J  e.  { j  e.  Top  |  B  =  U. j } ) )
24 unieq 3836 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2524eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( B  =  U. j  <->  B  =  U. J ) )
2625elrab 2923 . . 3  |-  ( J  e.  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j }  <->  ( J  e.  Top  /\  B  = 
U. J ) )
2723, 26syl6bb 252 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) ) )
281, 5, 27pm5.21nii 342 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  topontop  16664  toponuni  16665  toponcom  16668  toptopon  16671  istps2  16675  tgtopon  16709  distopon  16734  indistopon  16738  fctop  16741  cctop  16743  ppttop  16744  epttop  16746  mretopd  16829  toponmre  16830  resttopon  16892  resttopon2  16899  kgentopon  17233  txtopon  17286  pttopon  17291  xkotopon  17295  qtoptopon  17395  flimtopon  17665  fclstopon  17707  fclsfnflim  17722  onsuctopon  24873  cnrsfin  25525  cnrscoa  25526  neibastop1  26308  rfcnpre1  27690  cnfex  27699  stoweidlem47  27796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator