MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istopon Unicode version

Theorem istopon 16906
Description: Property of being a topology with a given base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
istopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )

Proof of Theorem istopon
Dummy variables  b 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5691 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  e.  _V )
2 uniexg 4639 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3 eleq1 2440 . . . 4  |-  ( B  =  U. J  -> 
( B  e.  _V  <->  U. J  e.  _V )
)
42, 3syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  =  U. J  ->  B  e.  _V )
)
54imp 419 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  =  U. J )  ->  B  e.  _V )
6 eqeq1 2386 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  =  U. j  <->  B  =  U. j ) )
76rabbidv 2884 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  =  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j } )
8 df-topon 16882 . . . . 5  |- TopOn  =  ( b  e.  _V  |->  { j  e.  Top  | 
b  =  U. j } )
9 vex 2895 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
109pwex 4316 . . . . . . 7  |-  ~P b  e.  _V
1110pwex 4316 . . . . . 6  |-  ~P ~P b  e.  _V
12 rabss 3356 . . . . . . 7  |-  ( { j  e.  Top  | 
b  =  U. j }  C_  ~P ~P b  <->  A. j  e.  Top  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
13 pwuni 4329 . . . . . . . . . 10  |-  j  C_  ~P U. j
14 pweq 3738 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  U. j  ->  ~P b  =  ~P U. j )
1513, 14syl5sseqr 3333 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  C_  ~P b
)
16 vex 2895 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
1716elpw 3741 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ~P ~P b  <->  j 
C_  ~P b )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  e.  ~P ~P b )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Top  ->  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
2012, 19mprgbir 2712 . . . . . 6  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j } 
C_  ~P ~P b
2111, 20ssexi 4282 . . . . 5  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  e.  _V
227, 8, 21fvmpt3i 5741 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (TopOn `  B )  =  {
j  e.  Top  |  B  =  U. j } )
2322eleq2d 2447 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  J  e.  { j  e.  Top  |  B  =  U. j } ) )
24 unieq 3959 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2524eqeq2d 2391 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( B  =  U. j  <->  B  =  U. J ) )
2625elrab 3028 . . 3  |-  ( J  e.  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j }  <->  ( J  e.  Top  /\  B  = 
U. J ) )
2723, 26syl6bb 253 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) ) )
281, 5, 27pm5.21nii 343 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2646   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   ` cfv 5387   Topctop 16874  TopOnctopon 16875
This theorem is referenced by:  topontop  16907  toponuni  16908  toponcom  16911  toptopon  16914  istps2  16918  tgtopon  16952  distopon  16977  indistopon  16981  fctop  16984  cctop  16986  ppttop  16987  epttop  16989  mretopd  17072  toponmre  17073  resttopon  17140  resttopon2  17147  kgentopon  17484  txtopon  17537  pttopon  17542  xkotopon  17546  qtoptopon  17650  flimtopon  17916  fclstopon  17958  fclsfnflim  17973  utoptopon  18180  onsuctopon  25891  neibastop1  26072  rfcnpre1  27351  cnfex  27360  stoweidlem47  27457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-topon 16882
  Copyright terms: Public domain W3C validator