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Theorem istopx 25650
Description: Definition of the product topology of a family of topologies 
F. (Contributed by FL, 4-Dec-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
istopx  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
Distinct variable groups:    A, i    i, F, t, x    i, I, t, x
Allowed substitution hints:    A( x, t)

Proof of Theorem istopx
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdm 5409 . . 3  |-  ( F : I --> Top  ->  dom 
F  =  I )
2 fex 5765 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  F  e.  _V )
3 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
43uniex 4532 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( F `  x )  e.  _V
54rgenw 2623 . . . . . . . . . 10  |-  A. x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V
6 ixpexg 6856 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V  ->  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V
8 distop 16749 . . . . . . . . 9  |-  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V  ->  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x
)  e.  Top )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  Top
10 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  i  e.  dom  F )  ->  ( F `  i )  e.  Top )
1110adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  /\  i  e.  dom  F )  -> 
( F `  i
)  e.  Top )
12 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  /\  i  e.  dom  F )  -> 
i  e.  dom  F
)
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
1514unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  i ) )
1613, 15prmapcp2 25260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  _V  /\  i  e.  dom  F
)  ->  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i ) :
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) --> U. ( F `  i )
)
177, 12, 16sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  /\  i  e.  dom  F )  -> 
( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
) : X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) --> U. ( F `  i
) )
187a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  /\  i  e.  dom  F )  ->  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x
)  e.  _V )
19 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( F `  i )  =  U. ( F `  i )
2019mapdiscn 25630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  Top  /\  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
) : X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) --> U. ( F `  i
)  /\  X_ x  e. 
dom  F U. ( F `  x )  e.  _V )  ->  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i ) ) )
2111, 17, 18, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  /\  i  e.  dom  F )  -> 
( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) )
2221ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  A. i  e.  dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i
) ) )
23 unipw 4240 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x
)  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )
2422, 23jctil 523 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  ( U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i
) ) ) )
25 unieq 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  U. t  =  U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) )
2625eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  ( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  <->  U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) ) )
27 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  ( t  Cn  ( F `  i )
)  =  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) )
2827eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  ( ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) )  <-> 
( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) ) )
2928ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  ( A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
)  <->  A. i  e.  dom  F ( X_ x  e. 
dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) ) )
3026, 29anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  ->  ( ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) )  <-> 
( U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) ) ) )
3130rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  e.  Top  /\  ( U. ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( ~P X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  Cn  ( F `  i )
) ) )  ->  E. t  e.  Top  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) )
329, 24, 31sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  E. t  e.  Top  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) )
33 rabn0 3487 . . . . . . 7  |-  ( { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) }  =/=  (/)  <->  E. t  e.  Top  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) )
3432, 33sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  =/=  (/) )
35 intex 4183 . . . . . 6  |-  ( { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) }  =/=  (/)  <->  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  e.  _V )
3634, 35sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  e.  _V )
37 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  F : dom  F --> Top )
38 df-prtop 25648 . . . . . 6  |-  topX  =  { <. f ,  y
>.  |  ( f : dom  f --> Top  /\  y  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  /\  A. i  e.  dom  f ( X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( f `  i
) ) ) } ) }
39 feq1 5391 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f : dom  f --> Top 
<->  F : dom  f --> Top ) )
40 dmeq 4895 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
4140feq2d 5396 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( F : dom  f --> Top  <->  F : dom  F --> Top )
)
4239, 41bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f : dom  f --> Top 
<->  F : dom  F --> Top ) )
43 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
4443unieqd 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  U. (
f `  x )  =  U. ( F `  x ) )
4544ralrimivw 2640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  A. x  e.  dom  f U. (
f `  x )  =  U. ( F `  x ) )
46 ixpeq2 6846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  =  U. ( F `  x )  -> 
X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x )  =  X_ x  e.  dom  f U. ( F `  x ) )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  X_ x  e.  dom  f U. (
f `  x )  =  X_ x  e.  dom  f U. ( F `  x ) )
48 ixpeq1 6843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  f  =  dom  F  -> 
X_ x  e.  dom  f U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) )
4940, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  X_ x  e.  dom  f U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) )
5047, 49eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  X_ x  e.  dom  f U. (
f `  x )  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x ) )
5150eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  f U. (
f `  x )  <->  U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )
) )
5250oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  pr  i )  =  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i ) )
53 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  i )  =  ( F `  i ) )
5453oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
t  Cn  ( f `
 i ) )  =  ( t  Cn  ( F `  i
) ) )
5552, 54eleq12d 2364 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( f `  i ) )  <->  ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) )
5640, 55raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( A. i  e.  dom  f ( X_ x  e.  dom  f U. (
f `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( f `
 i ) )  <->  A. i  e.  dom  F ( X_ x  e. 
dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) )
5751, 56anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( U. t  = 
X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x )  /\  A. i  e.  dom  f (
X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( f `  i ) ) )  <-> 
( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) ) )
5857rabbidv 2793 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  /\  A. i  e.  dom  f ( X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( f `  i
) ) ) }  =  { t  e. 
Top  |  ( U. t  =  X_ x  e. 
dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F ( X_ x  e. 
dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
5958inteqd 3883 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  /\  A. i  e.  dom  f ( X_ x  e.  dom  f U. ( f `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( f `  i
) ) ) }  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } )
6038, 42, 59fvopab6 5637 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  |^|
{ t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) }  e.  _V  /\  F : dom  F --> Top )  ->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } )
612, 36, 37, 60syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  = 
|^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) } )
62 feq2 5392 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( F : dom  F --> Top  <->  F : I --> Top )
)
63 eleq1 2356 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( dom  F  e.  A 
<->  I  e.  A ) )
6462, 63anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  <->  ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )
) )
65 ixpeq1 6843 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  =  I  ->  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x
)  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )
)
6665eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  <->  U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x
) ) )
6765oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  =  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) )
6867eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) )  <-> 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) )
6968raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
)  <->  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) )
7066, 69anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) )  <-> 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) ) )
7170rabbidv 2793 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  I  ->  { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) }  =  { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
7271inteqd 3883 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  I  ->  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  dom  F (
X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i
)  e.  ( t  Cn  ( F `  i ) ) ) }  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
7372eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( (  topX  `  F
)  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  <->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) )
7464, 73imbi12d 311 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( ( ( F : dom  F --> Top  /\  dom  F  e.  A )  ->  (  topX  `  F
)  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  /\  A. i  e. 
dom  F ( X_ x  e.  dom  F U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } )  <-> 
( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  = 
|^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) ) )
7561, 74mpbii 202 . . 3  |-  ( dom 
F  =  I  -> 
( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  = 
|^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) )
761, 75syl 15 . 2  |-  ( F : I --> Top  ->  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  = 
|^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) )
7776anabsi5 790 1  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Topctop 16647    Cn ccn 16970    pr cpro 25253    topX ctopx 25647
This theorem is referenced by:  istopxc  25651  prtoptop  25652  usptop  25653  prcnt  25654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-ixp 6834  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-pro 25255  df-prtop 25648
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